Zadání 5. série 29. ročníku

Termín odeslání: 24. března 2014

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


Ondra se nenechal zahanbit a přišel s opravdu zvláštním snem. „Zdálo se mi to, když jsem jednou jel na matematické soustředění. Poslouchal jsem si svou oblíbenou skupinu, přemýšlel jsem o hře, kterou jsem den předtím hrál se svými kamarády, usnul jsem a ocitl jsem se na nějaké párty. Později jsem si všiml, že se odehrává v místě zobrazeném na hrací desce hry, o které jsem před usnutím přemýšlel. A protože jsem tam nikoho neznal, začal jsem se seznamovat. Nejdřív jsem oslovil slečnu, která zářila štěstím, ačkoliv stála sama v rohu. O chvíli později jsem od ní znechucen odešel – neustále totiž mluvila o tom, jak lehce přišla k penězům.“

Úloha č. 1

Canhalta (slečna z Ondrova snu) šla do banky nechat si proplatit šek, protože už měla úplně prázdnou peněženku. Jenže paní pokladní byla trochu zmatená a dala jí místo korun halíře a místo halířů koruny. Odpoledne s klidem utratila 7 korun, a pak měla v peněžence přesně dvojnásobek sumy uvedené na šeku. Kolik korun a kolik halířů bylo uvedeno na šeku? (pozn.: koruna má 100 halířů)

„Seznámil jsem se pak ještě s pár dalšími nezajímavými lidmi, než jsem zjistil, že už večírek končí. Ještěže tak, začínal jsem se doopravdy nudit.“

Úloha č. 2

Na večírku bylo n lidí, kteří se během večera všichni navzájem poznali. Ondra nikoho před večírkem neznal a ještě přišel pozdě, a tak stihl poznat jen několik lidí. Na konci večírku si potřesou rukou všichni, kteří se na konci večera znají. Pokud si rukou potřáslo přesně 68 dvojic lidí, kolik lidí znal na konci večírku Ondra?

„Když se všichni rozloučili a vyšli ven, objevilo se zvláštní světlo. Z mně neznámých důvodů se všichni zděsili a snažili se schovat. O chviličku později jsem zjistil proč. Přiletěla obrovská svítící dvacetistěnná hrací kostka, a kdybych na poslední chvíli neuskočil, nejspíš by mě zamáčkla.“

Úloha č. 3

Kostka byla ve tvaru pravidelného dvacetistěnu a celý její povrch byl složený z navzájem se dotýkajících kuliček. Kuličky tvořící hranu byly společné oběma stěnám a v každém vrcholu ležela právě jedna kulička náležící všem hranám, které se v něm stýkají. Kdyby se ke kuličkám tvořícím tento dvacetistěn přidalo dalších 390, šlo by vytvořit nový, větší dvacetistěn. Kolik kuliček tvořilo hranu kostky a kolik by bylo na hraně nově vzniklého dvacetistěnu?

„Sotva dopadla, ozvalo se odněkud číslo a vzápětí: Budete všichni přeměněni v koně. Ocitl jsem se tedy v ohradě s 24 dalšími koňmi. Místo, aby se všichni pokojně pásli, cítil jsem z nich strach. Říkal jsem si, že se asi bojí příletu té obří kostky a oni se změní třeba v pirani. Nebyla to ale pravda. Za chvilku přišly 3 ježibaby s obličejem plným bradavic, příšerným šklebem, chybějícími zuby, pokřivenými hnátami a hrbem. Začaly se o něčem dohadovat, a protože jsem vždycky strašně zvědavý, přiblížil jsem se k nim, abych je lépe slyšel.“

Úloha č. 4

Ondra zjistil, že čarodějnice si ze svých 25 koní chtějí vybrat 3 nejrychlejší, aby stihly sjezd strašidel. Vzaly je tedy na dostihový okruh, kde může najednou běžet závod maximálně 5 koní. Pak ale zjistily, že ta nejošklivější ztratila stopky a jinak čas měřit neumí. Naštěstí každý kůň zaběhne vždy stejný čas. Lze určit prvního, druhého a třetího nejrychlejšího koně pomocí 7 dostihů?

„Když s námi provedly všechno, co chtěly, přišel nějaký flétnista a sotva začal hrát, zjistil jsem, že ho musím následovat. Přivedl nás do bažiny a já jsem cítil, jak klesám hloub a hloub. Snažil jsem se kopat. Vzpírat se. Křičet. Nic nešlo. Byl jsem plně v moci kouzelné flétny. Už jsem byl skoro úplně pod hladinou, když se znovu objevilo podivné světlo a vzápětí obrovské šplouchnutí. Opět zasáhla kostka. Tentokrát nám oznámila, že se všichni přeneseme do zahrady Srdcové královny. Změnil jsem se v zahradníka a než jsem se stačil rozkoukat, objevila se kočka Šklíba a dala mi radu.“

Úloha č. 5

Šklíba Ondrovi řekla, aby do příchodu Srdcové královny vysázel růže, pokud nechce přijít o hlavu. Měl za úkol vytvořit alespoň 6 řádků růží. Řádek je tvořen libovolnými třemi růžemi ležícími na jedné přímce. Ondra ale dostal pouze 7 růží. Mohl je takto vysázet?

„Sotva jsem dokončil práci v zahradě, přišla na kontrolu Srdcová královna. Mé růže se jí ale nelíbily – vysázel jsem bílé místo rudých, takže na mě poslala stráže. Začal jsem tedy utíkat. Na jednom z mostů mi už začaly docházet síly, ale naštěstí pod tím mostem zrovna přistávala ta kostka. Skočil jsem tedy na ni a pak jsem odletěl zpátky do vlaku. Když jsem se probral, začal jsem přemýšlet o všem, co se tam stalo, a uvědomil jsem si, že pokaždé, když kostka přiletěla, zaznělo jisté desetimístné číslo. Když jsem si je sepsal, zjistil jsem, že některá z nich jsou superdělitelná.“

Úloha č. 6

Superdělitelné číslo je takové deseticiferné číslo, v němž je každá číslice právě jednou a ve kterém platí, že číslo tvořené prvními k ciframi je dělitelné pro všechna k od 1 do 10 (tedy např. číslo tvořené prvními dvěma ciframi je dělitelné 2, číslo vzniklé zakrytím poslední cifry je dělitelné 9). Kolik je superdělitelných čísel a která to jsou?

„Pak už jsem ale chtěl na všechno z toho snu zapomenout a začal jsem si rýsovat úsečky.“

Úloha č. 7

Ondra si nakreslil čtyři úsečky a označil si je písmeny a, b, c a d. Úsečky měly délku a=4,3 cm, b=3,1 cm, c=3,4 cm, $d=2,8 cm$. Pak zkonstruoval úsečku délky

x = 2c\sqrt{a^{2} - b^{2}}/d.

Zkonstruujte ji čistě geometricky také.