Zadání 1. série 29. ročníku

Termín odeslání: 14. října 2013

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


Celý týden byl úžasný, ale nejzajímavější bylo asi poslední svítání. Okolo páté hodiny ranní jsem sešla dolů a zjistila jsem, že nejsem jediná, kdo je vzhůru. Matěj měl dokonce ještě tolik energie, že mohl hrát na kytaru a těmi tóny dokázal vytvořit klidnou a příjemnou atmosféru. Bylo to tak krásné, že jsem se rozhodla nerušit to svým zpěvem a raději jsem se rozhlídla, s kým bych si tak mohla povídat. Jako první jsem uviděla Ondru se Zuzkou, kteří si něco čmárali na tabuli. Z dálky to vypadalo jako SUDOKU, tak jsem si řekla, že jim půjdu pomoct. Ale SUDOKU to nebylo.

Úloha č. 1

Ondra dal Zuzce za úkol vyplnit tabulku čísly 1--7 tak, aby v každém řádku i sloupci bylo každé číslo právě jednou. Aby to ale nebylo tak jednoduché, musela dodržovat podmínky dané kolečky: plné kolečko značí, že jedno z čísel je dvojnásobkem sousedního; prázdné kolečko znamená, že se sousední čísla liší o 1. A pokud tam není žádné kolečko, nenastává žádná z předchozích dvou podmínek. Dokážete to i vy?

Chvilku jsem nad tím popřemýšlela, ale pak jsem to nechala zase Zuzce. Šlo jí to krásně a já bych to jen kazila. Navíc jsem uviděla Toma s Markem, kteří seděli v rohu pokoje, pili čaj a povídali si. Doufala jsem, že se baví o tom, který druh čaje je nejlepší, ale oni ne.

Úloha č. 2

Tom tvrdil, že viděl včera v noci v lese mnohostěn, jehož každá stěna byla mnohoúhelník s různým počtem vrcholů. Marek mu to ale nevěřil. Kdo má pravdu? Jak mohl onen mnohostěn vypadat?

Díky tomu, že se bavili o tom, co se stalo v noci, vzpomněla jsem si na jeden sen. Rozhodla jsem se počkat, až dořeší zjevení mnohostěnu a říct jim, co se mi zdálo. V mezičase jsem jim upíjela čaj a nemohla jsem se mít krásněji. Jen si to představte, hudební podklad zajištěn kytarou, k tomu čaj a dva krásní chytří kluci vedle mě. Bylo mi tak skvěle, že jsem kluky málem nechala přejít k jinému tématu. Naštěstí jsem se vzpamatovala včas a začala jsem vyprávět.

„Jak jste tu tak zmínili tu noc, vzpomněla jsem si na jeden sen, co se mi kdysi zdál. Nějak na to nemůžu zapomenout. Ocitla jsem se tehdy ve světě, kde stromy byly fialové, řeka růžová a místo ryb v ní plavali ptáci. Já jsem byla malá zelená skřítka nadšená ze všech těch barev a nic mě netížilo. Hopsala jsem si v tom divně barevném světě, když jsem najednou potkala skupinku čísel, které se bavily tím, že tvořily různé součty. Když jsem byla u nich, zrovna jeden dodělaly. Vidíte, to bych vám z toho mohla dát i nějaký příkladeček, ať se nenudíte.“

Úloha č. 3

„Součet několika po sobě jdoucích přirozených čísel (alespoň dvou) je 22 088. Jaké číslo tam bylo nejvyšší?“

Samozřejmě, že takovou banalitu vyřešili všichni hravě, ale nejrychlejší byl Tom. Ani nevím, kdy si k nám přisedl. Ale nebyl jediný. Vlastně už nás tam sedělo všech 6. To mě povzbudilo v dalším vyprávění.

„Čísla byla sice roztomilá, ale nějak mě lákalo pokračovat v poznávání té podivné země. Po chvilce chůze jsem potkala dost divné zvíře. Asi to měla být kočka, ale byla dost stylizovaná. Tělo ze samých čtyřúhelníků. Vypadala docela zoufale a smutně. Když jsem se jí zeptala, co se jí stalo, řekla, že ji vyhnali ze skupiny, protože si neumí spočítat obvod a obsah největších částí těla, čili hlavy a trupu. Aby mohla být členkou smečky, muselo by pro hlavu i tělíčko platit, že obvod se rovná obsahu. Bylo mi jí líto, tak jsem si řekla, že jí pomůžu. Když jsem jí změřila všechny potřebné délky, zjistila jsem, že jsou všechny celočíselné, naštěstí. A otázka do publika zní:“

Úloha č. 4

„Kolik existuje pravoúhelníků s celočíselnými délkami stran, pro které platí, že velikost obsahu je rovna velikosti obvodu?“

„To je přece úplně jednoduché. A měla ta kočka teda správné tělíčko?“ zeptala se Zuzka.

„No, měla. Když jsem jí pomohla, pokračovala jsem ve své cestě. Ale čím déle jsem šla, tím méně barevný svět byl. Nakonec bylo všechno takové pochmurné, černobílé. Ke všemu jsem najednou byla vysoká zvídavá elfka. Ta tam byla maličká hopsající skřítka. A jak jsem tak šla, uviděla jsem dům. Takový ten typický Haunted house. Polorozpadlý, vrzající, no nádhera. Samozřejmě jsem šla dovnitř na průzkum a jeden pokoj byl vážně divný.“

Úloha č. 5

„Stála jsem v místnosti s obdélníkovým půdorysem, jejíž stěny byly od stropu až do určité výšky nad zemí tvořené zrcadly. Byla jsem 2 m od stěny dlouhé 2,5 m a 1 m od 6 m dlouhé stěny. V jaké největší výšce nad zemí mohla začínat zrcadla, abych si viděla na svoje paty, jestliže se obraz od každé ze stěn odrážel právě jednou a oči jsem měla ve výšce 1,8 m nad zemí?“

„Tyjo, jeden sen a tolik příkladů. Ještě že jsou lehké,“ řekl Marek.

„Zase je moc jednoduchý? No jo, v tuhle denní dobu asi neumím vymýšlet dostatečně složité příklady. Ale zpět ke snu. Z okna jednoho z pokojů jsem viděla do zahrady. Byla plná divných kytek a já jsem samozřejmě chtěla vědět, proč mi přijdou tak divné. Když jsem je uviděla zblízka, všimla jsem si, že to jsou vlastně trojúhelníky na stonku. Byl jakoby jeden hlavní stonek, na jeho vrcholu květ a v půlce toho stonku byla jehlice. A teď mě napadl další příklad.“

Úloha č. 6

„Máme zadaný trojúhelník ABC a úsečku délky d. Sestrojte rovnoramenný trojúhelník KLM o základně KL délky d, který bude mít stejný obsah jako trojúhelník ABC.“

„Jednoduché, co? Na těch květinách nebyl divný jenom jejich vzhled, ale taky to, že když jsem se nějaké dotkla, okamžitě uvadla. Rozhodla jsem se tedy pokračovat v putování, abych je všechny nezničila. Čím dál jsem šla tou divnou nebarevnou krajinou, tím tmavší to všechno bylo. Po chvíli jsem uviděla malou chaloupku. Zaklepala jsem a vešla jsem tam. Byl tam starý, lehce bláznivý kouzelník. Pořád si něco mumlal a na papír čmáral nějaká čísla. Pak jsem zjistila, že vlastně řeší zajímavý matematický problém.“

Úloha č. 7

„Kolika způsoby lze zapsat číslice 0--9 za sebe, pokud každou použijeme právě jednou, aby takto vzniklá posloupnost neobsahovala žádné z čísel 2 011, 2 012, 2 013?“

„Když jsem mu s tím pomohla, rozesmál se a začal tančit. A najednou se světu vrátily všechny barvy. Chtěla jsem pokračovat dál v cestě, zkoumat, pomáhat, užívat si barviček, jenže jsem se probudila.“