Úloha č. 1

Máme číslo 91 583 472. Kolika způsoby můžeme škrtnout právě dvě cifry, aby výsledné číslo bylo dělitelné třemi?

Řešení: Výsledné číslo bude dělitelné třemi, pokud ciferný součet čísla bude dělitelný třemi. Této vlastnosti využijeme při hledání správných možností.

Nejprve si uvědomíme, že číslo 91 583 472 je dělitelné třemi, protože jeho ciferný součet je dělitelný třemi:

9 + 1 + 5 + 8 + 3 + 4 + 7 + 2 = 39.

Máme škrtnout dvě číslice a výsledné číslo má být opět dělitelné třemi. Pak ale číslice, které škrtneme, musí být v součtu také násobkem tří, neboť ciferný součet zadaného čísla a ciferný součet výsledného čísla musí být dělitelný třemi. Hledáme tedy dvě číslice jejichž součet je násobek tří. To jsou právě tyto možnosti:

9 + 3, 1 + 5, 1 + 8, 1 + 2, 5 + 4,
5 + 7, 8 + 4, 8 + 7, 4 + 2, 7 + 2.

Celkem máme 10 možností, jak škrtnout dvě číslice, abychom dostali číslo dělitelné třemi.

Komentář: Většina z vás úlohu vyřešila správně, byť někteří metodou „postupně vyškrtnu všechny možné dvojice číslic a každé výsledné číslo zkusím vydělit třemi“. Není to špatně, ale je to neefektivní -- kdyby číslo nebylo jen osmimístné, zkoumání všech možností by vám trvalo podstatně déle. Někteří z vás mi sice popsali správné řešení, ale nevypsali všechna možná řešení nebo naopak vypsali některá dvakrát. Proto doporučuji vypisovat dvojice číslic systematicky -- buď od první číslice nebo od poslední, čímž zajistíte, že nic nepřehlédnete.

Úloha č. 2

„Když jsme tam dorazili, zjistili jsme, že čokoládovna Permoníček vložila do každé své čokolády speciální kupon a vlastník 5 takových kuponů dostane čokoládu zdarma. Jedna čokoláda stála 5 dukátů. Schválně, kolik jsme nechali v cukrárně peněz, jestliže jsme měli 333 čokolád?“

Řešení: V první řadě je důležité si uvědomit, že při nákupu pěti čokolád, je další zdarma a v ní je také kupón!!

Přístup 1: Když si koupím například 125 čokolád, tak z nich získám celkem 125 kupónů, tedy 25 čokolád zdarma, ale v nich je taktéž 25 kupónů a z nich dostanu týmž postupem 5 čokolád zdarma a nakonec 1 čokoládu. Tedy pro přehlednost ze 125 nakoupených čokolád mám u sebe dohromady 156 čokolád a 1 kupón. Když nakoupím 250 čokolád, dostanu dohromady 312 čokolád a budu mít 2 kupóny. Když si koupím 15 čokolád, získám 18 čokolád a 3 kupóny. Tedy dohromady jsem zatím nakoupil 265 čokolád a mám 331 čokolád a 1 kupón. Zbylé dvě čokolády do 333 čokolád už dokoupím. To znamená, že jsem dohromady nakoupil 267 čokolád. Za každou čokoládu zaplatím 5 dukátů, takže celkově 1335 dukátů.

Přístup 2: Nejprve si nakoupím 5 čokolád a další dostanu zdarma. Dále budu nakupovat po čtyřech čokoládách a pátou vždy získám zdarma. Bonusové čokolády tedy budou ty, které jsem získal jako 6., 11., 16., ..., 331. tato řada obsahuje 66 členů, tedy máme 66 čokolád zdarma. Z celkového počtu čokolád 333 odečtu zdarma čokolády a vynásobím je dukáty -- celkově 1335 dukátů.

Komentář: Mnoho z vás psalo výsledek 1340 dukátů. Zpětným výpočtem teď ukáži, proč tento výsledek nebude sedět. Za 1340 dukátů dostaneme 268 čokolád. Počet čokolád budeme postupně dělit pěti a zbytek si napíšeme do závorky. 268 = 265 +(3) -> 53 = 50 + (3) -> 10 = 10+(0) -> 2=0+(2) sečtením závorek dostáváme 8 -> 1 +(3), takže celkem zbudou 4 kupóny (3 + kupón za čokoládu z posledních 8 kuponů). Za 1340 dukátů dostaneme dohromady: 268+53+10+2+1=334 čokolád + 4 kupóny. Analogickým postupem ověříme, že za 1335 dukátů obdržíme 267+53+10+2+1=333 čokolád + 3 kupóny.

Úloha č. 3

Máme přesně 10 kg ryb, z nichž žádná neváží více než 1 kg. Kolik si na ně musíme nejméně připravit balení, když je chceme určitě zabalit všechny tak, aby v žádném balení nebylo více než 3 kg ryb?

Řešení: K vyřešení příkladu potřebujeme ukázat, že na některou možnost hmotností ryb potřebujeme pět balení a že nikdy nepotřebujeme balení více.

Vezmeme-li si třináct stejně vážících ryb po 10/13 kg, což je přibližně 0,77 kg, do žádného balení se nevejdou více než tři ryby, které dohromady váží cca 2,3 kg. Máme třináct ryb, do žádného balení se nevejdou víc než tři ryby, tedy nutně musíme mít alespoň pět balení.

Proč nikdy nepotřebujeme více než pět balení?

Postupně do prvních čtyř balení umístěme ryby libovolně tak, aby v každém balení bylo více než 2 kg ryb. Takto jsme umístili více než 8 kg ryb, zbývá nám umístit do balení méně než 2 kg ryb, což se vždycky vejde do pátého balení.

Komentář: Tentokrát poměrně velká část z vás nesprávně pochopila zadání a úlohu si zjednodušila tím, že nalezla nějaké optimální řešení, které se určitě vejde do čtyř balení, a nezajímala se, zda se dají do čtyř balení dát ryby vždy. Tuto chybu jsem nakonec hodnotil velmi mírně, stržením dvou bodů. Někteří z vás také nalezli správné řešení, ale neodůvodnili, že pět balení vždy stačí, za to jsem body nakonec nestrhával, o to víc ale chválím těch pár řešitelů, kteří vyřešili úlohu korektně.

Úloha č. 4

„Trpaslíček měl krabičku 8 \times 8 \times 1 a kuličky o průměru 1. Kolik nejvíc kuliček se mu vejde do krabičky?“

Řešení: Má-li krabička jeden rozměr roven 1, vejde se do ní jenom jedna vrstva kuliček. Úkol budeme tedy řešit jako problém naskladání kruhů do čtverce. Jako první řešení vás asi napadlo každou kuličku považovat za kostku a naskládat je do krabičky v osmi řadách po osmi. Takhle se jich do krabičky vejde 64. Avšak ve skutečnosti mohou kuličky do sebe zapadat. Podíváme se na takové rozestavení kuliček:

Spočteme si, jestli je možné, aby se kuličky do krabičky takhle vešly:

Každá druhá řada zabírá na výšku méně místa než ostatní. Pomocí Pythagorovy věty umíme spočítat o kolik.

\eqalign{ a^{2}+b^{2} &= c^{2} \cr a^{2} &= c^{2}-b^{2} \cr a &= \sqrt{1-0,25} \cr a &\doteq 0,866 \cr }
x=2a-2\cdot 0,5 \doteq 0,732
4x+5\cdot 1 \doteq 7,892<8

Tedy je možné, aby se do krabičky vešlo pět řad po osmi kuličkách a čtyři řady po sedmi kuličkách. To je celkem 68 kuliček.

Komentář: Pokud jste měli řešení pro 64 kuliček, které bylo popsané (nebo nakreslené), dostali jste 1 bod. Za řešení, které sice bylo správně, ale bylo málo popsané/nebylo dokázané, jste dostali jenom 3 body. Jestliže bylo řešení dokázané jenom obrázkem (narýsováno), dostali jste 4 body.

Úloha č. 5

V písku jsou zapíchnuté tři klacíky tak, že neleží na jedné přímce. Úkolem je sestrojit trojúhelník tak, aby klacíky byly paty jeho výšek. Dokážeš ho sestrojit ty?

Řešení: Označme si hledaný trojúhelník ABC. Poté jeho paty, které máme zadané, můžeme postupně označit P_{A}, P_{B}, P_{C}. Dokážeme, že ortocentrum O, neboli průsečík výšek trojúhelníku ABC, tvoří střed kružnice vepsané trojúhelníku s vrcholy v patách výšek. Poté bude platit, že výšky trojúhelníku ABC tvoří osy úhlů u vrcholů trojúhelníku P_{A}P_{B}P_{C}, a tedy stačí sestrojit kolmice na tyto osy v patách výšek hledaného trojúhelníku, čímž dostaneme strany trojúhelníku ABC, což jsme měli za úkol.

Označme si úhel O P_{C} P_{A} jako \alpha. Protože čtyřúhelníku O P_{A} B P_{C} lze opsat kružnice (zde dokonce Thaletova nad průměrem OB), je tento čtyřúhelník tětivový, a tedy platí, že velikosti úhlů O P_{C} P_{A} a O B P_{A} se rovnají. Podobně je tětivový čtyřúhelník B C P_{B} P_{C} -- lze mu opět opsat Thaletova kružnice nad průměrem BC. Proto se znovu velikosti úhlů P_{B} B C a P_{B} P_{C} C rovnají. Dostáváme tedy, že přímka P_{C} O je osou úhlu P_{B} P_{C} P_{A}.

Zápis konstrukce:

  • \triangle P_{A}P_{B}P_{C},
  • osy úhlů u vrcholů \triangle P_{A}P_{B}P_{C},
  • a,b,c; P_{A} \in a, P_{B} \in b, P_{C} \in c, a, b, c jsou kolmé postupně na osy úhlů z P_{A}, P_{B}, P_{C},
  • \triangle ABC; a, b, c tvoří strany \triangle ABC.

Komentář: Někteří z vás správně uvedli, že kromě ostroúhlého trojúhelníku bychom mohli také dostat tupoúhlý trojúhelník, pokud bychom místo vepsané kružnice sestrojili jednu ze tří připsaných. Úloha tedy měla celkem 4 řešení. Velice bych chtěl ocenit, že spousta z vás se nebojí internetu a když jste nevěděli, jak úlohu vyřešit, našli jste si informace o ortickém trojúhelníku, což vás poté již téměř jistě navedlo ke správnému řešení.

Úloha č. 6

Medvědovo doupě nebylo v jeskyni, ale byla to obrovská krychle na kuří nožce pomalovaná třemi různými barvami. Kolika různými způsoby jde obarvit stěny doupěte tak, aby každou barvou byly obarveny právě dvě strany? Obarvení, která se liší jen otočením, jsou stejná.

Řešení: Řekněme si, že budeme krychli obarvovat modrou, červenou a žlutou barvou. Pro obarvení modrou máme dvě možnosti. Pokud budou modré stěny protilehlé, existují dvě obarvení. Buď budou červené strany protilehlé, nebo spolu budou sousedit.

Druhou možností je, že modré stěny nebudou protilehlé, ale budou spolu sousedit. Rozeberme si možná obarvení v tomto případě. Obarvení lišící se jen otočením jsou shodná, a proto si můžeme bez újmy na obecnosti (BÚNO) určit, že modrou barvou obarvíme spodní a levou stranu krychle. Pak máme dvě možnosti, kdy jsou přední a zadní stěna obarveny stejnou barvou -- buď žlutou nebo červenou. Nyní zbývá rozmyslet si situaci, kdy mají přední a zadní stěna různou barvu. Předně si uvědomíme, že je jedno, zda je červená přední nebo zadní stěna, neboť můžeme krychli otočit o 180° kolem svislé osy a pak o 90° kolem předozadní osy, čímž budou opět levá i dolní stěna modré, ale barvy na přední a zadní stěně se vymění. Můžeme proto BÚNO předpokládat, že přední stěna je červená a zadní žlutá. Nyní už je jasné, že v této situaci máme dvě možnosti, tedy tu, kdy je horní stěná žlutá a pravá červená, a tu, kdy je horní stěna červená a pravá žlutá.

Máme tedy dvě obarvení, kdy jsou modré stěny protilehlé, a čtyři obarvení, kdy spolu modré stěny sousedí. Dohromady lze krychli obarvit šesti různými způsoby.

Komentář: Téměř všichni jste řešili tuto úlohu rozborem možností. To byl správný postup, ale je třeba zkontrolovat, že případy, které v řešení zvažujete, opravdu pokrývají všechny možnosti vyhovující zadání. Často tomu tak nebylo, a proto jen relativně málo z vás dosáhlo pěti bodů.

Úloha č. 7

„Medvěd mi zadal takovýto příklad: Magická čísla jsou dvojciferná a mají zvláštní vlastnost. Každé magické číslo je rovno součtu své číslice na místě desítek a druhé mocniny své číslice na místě jednotek. Která čísla to jsou?“

Řešení: Označím d cifru na místě desítek a j cifru na místě jednotek. Na tomto místě je potřeba rozmyslet, jakých hodnot d a j nabývají:

d \in \lbrace1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace,
j \in \lbrace0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace.

Aby bylo číslo magické, jsou na sobě cifry d a j závislé. Tento vztah vyjádřím přesně podle zadání rovnicí, abych s ním mohl dále pracovat:

\eqalign{ 10d + j &= d + j^{2}, \cr 9d &= j(j-1). \cr }

Podívám se na upravenou rovnici a rozmyslím si, co se z ní dá vyčíst: j(j-1) je násobek devíti. To proto, že i levá strana rovnice je násobkem devíti. Pokud součin dvou čísel je násobkem devíti, buď je alespoň jedno z nich násobkem devíti, nebo jsou obě násobkem tří. To ale není možné, protože se j a j-1 liší jen o jedna, jsou to dvě po sobě jdoucí čísla a ta nemůžou být obě dělitelná třemi. Násobkem tří může být nejvýš jedno z nich. Proto v tom případě j nebo j-1 je násobkem devíti.

Dvě množnosti, které stojí za to promyslet, jsou j = 9 a j-1 = 9. Při vyšších násobcích by j nebylo jednociferné. To nakonec není ani v druhé variantě, proto jediné řešení je j = 9. Dopočítáme d:

\eqalign{ 9d &= 9(9-1), \cr d &= 8. \cr}

Vyšlo nám tedy číslo 89. Zbývá zkontrolovat, jestli je opravdu magické:

89 = 8 + 9^{2} = 8 + 81 = 89.

Číslo 89 je skutečně magické a je jediné. Žádné další nám nevyšlo.

Komentář: Naprostá většina řešitelů na magické číslo přišla. Opět připomínám, že nestačí znát správný výsledek. Hodnotíme hlavně postup, který musí být součástí řešení. Za řešení bez postupu jsem nemohl dát plný počet bodů.

Opravovali: 1. Tereza Ptáčková, 2. Garegin Minasjan, 3. Dominik Tělupil, 4. Martin Smolík, 5. Lukáš Zavřel, 6. Michal Outrata, 7. Filip Lux.