Zadání 5. série 23. ročníku

Pikosobota proběhne dne 5. dubna 2008 od 10.00 do 16.00. Sraz je u východu stanice metra Nádraží Holešovice směrem k nádraží Praha-Holešovice (východ bez jezdících schodů).

Termín odeslání: 7. dubna 2008

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


Měsíčku na nebi hlubokém,
světlo tvé daleko vidí,
po světě bloudíš širokém,
díváš se v příbytky lidí.

Měsíčku, postůj chvíli,
řekni mi, kde je můj milý!

„Co to slyším? Co to k tomu jenom patří?“ pomyslela si Anička dřív, než otevřela oči. A to, co slyšela, ji popravdě řečeno nutilo spíš oči přivírat a nechat před nimi proplouvat velmi romantické obrazy. Raději oči rychle otevřela, ale situace se o mnoho nezlepšila -- všude byla hustá tma.

„Kde to herdek jenom jsem...?“ dumala Anička a lezla po kolenou z hromady hadrů. V okolní tmě začaly vystupovat stíny a obrysy a jakoby za stěnou se ozývala krásná mohutná hudba. Hlavou narazila do nějaké překážky, až se plochý temně zelený smrček zapotácel. „Co tady dělá ta nahosemenná Picea?“ zlobila se už trochu Anička a opatrně vykoukla mezi papírovými větévkami. Do očí jí zařízl oslnivý kužel světla.

Před ní se rozkládal nevelký palouček. Trochu divné bylo, že měl prkennou podlahu, ale kdo by hleděl k zemi, když všude kolem čněly mocné stromy, zahalené nočními chmurami, a po straně se čeřila saténová hladina lesního jezírka, odrážející masivní měsíční svit. Kolem jezírka stály tři shrbené vrby a jejich přítomnost jako by si nutila jakýsi čtvrtý záchytný bod...

Úloha č. 1

Načrtněme si situaci. Sestrojte kosočtverec ABCD, jestliže víte, že tři z jeho vrcholů leží na kružnici k se středem S a poloměrem 5 cm a jeho delší úhlopříčka měří 8 cm. Najděte všechna řešení.

Anička se nemusela dlouho rozhlížet a bod opravdu nalezla. Byl ohromující a zachycoval skutečně dokonale. Ve středu dění stála vysoká dívka v splývavém rouchu, pohled upřený vysoko na nebe a pěla ku měsíci: „O mně-li duše lidská sní, ať se tou vzpomínkou vzbudí“ „Teda, tady se dějou věci“ hvízdla pro sebe tiše Anička a vylezla ze své skrýše. Nestačila se ještě ani narovnat a něčí ruce ji strhly zpět.

„Osobo! To ti úplně přeskočilo?! Tam nemůžeš“ „Co tu vůbec děláš?“ „Jak se vlastně jmenuješ?“ Anička nesměle pípla své jméno, přimáčknutá k podlaze přívalem otázek. Opatrně vzhlédla. Před ní stál hlouček lidí, nezřetelných v příšeří, ale nebála se jich. Působili spíš ustaraně a -- ustrašeně. Vepředu se jasněji rýsovaly dvě postavy. Jedna vysokého, hrdinského vzezření v majestátních šatech, které trochu zářily i zdejším šerem. A druhá droboučká, ve vytahaných šatech, trochu umouněná. Vypadali vedle sebe jako král a uhlíř. Ten menší se k ní sklonil, podal jí ruku, aby mohla vstát, a řekl: „Já jsem zase Alfred a pomůžeš mi dělat vlny.“

A bylo rozhodnuto. Obešli palouček až k místu, kde se jezírko nořilo do stínů šeré prostory. Poklekli k hladině a (Anička stěží věřila svým očím) vzali hladinu do dlaní. Kmitali s ní nahoru a dolů a po jezírku se rozběhly vlnky.

„A pro vás, pánové, to platí taky“ vykřikl jim za zády někdo šeptem. „Tady nejste na zábavě, kdo myslíte, že za vás bude pohánět obláčky?! Nebo snad na dnešek změnili předpověď, co?“ Skupinka šerých lidí se rozprchla a zanechala po sobě jen několik hracích kostek, speciálně upravených, aby dopadaly zcela bezhlučně.

Úloha č. 2

Hrací šestistěnné kostky měly ubroušené všechny vrcholy tak, že z původních stěn vznikly kruhy a nově vzniklé obroušené plošky byly části jedné kulové plochy jako na obrázku. Jaký byl objem vzniklé hrací kostky, jestliže původní kostka měla objem 27 kubických jednotek?

„Kdo... kdo to byl?“ zašeptala Anička Alfredovi. „Inspicient.“ Alfred se při tom slově přikrčil. „Stará se, aby mimo světla běželo vše, jak má. Je to celá věda! Uhlídat všechny nástupy a pomocný personál... Vede to tu tvrdě jako jakobín“ Anička chápavě kývla hlavou. „A támhleta... slečna?“ podívala se do středu paloučku. Noční krasavice už dozpívala svou árii a klepala na dvířka povážlivě nahnuté chatrče. „Ále, to ti je tak smutná histórie. Miluje prince, ale ten ji ani nezahlédne, protože není člověk -- jako ona, rozumíš.“ Alfred na okamžik snivě pohlédl směrem ke klepající krásce. Pak si bolestně povzdychl a pokračoval: „A teď jde za čarodějnicí, aby ji proměnila v člověka. Jenže ta umí jaksi jenom obraz... a princ ji nikdy neuslyší, achjo, taková tragédie.“

Anička tiše přikývla. Už se v poslední době setkala s lecčíms, ale s utrpením takového druhu tedy ještě ne. „Tohle je tedy veselé místo,“ řekla si pro sebe.

Z chatrče mezitím vylezla čarodějnice, jeden strach. Hrbatá, ošklivá, s pichlavým pohledem, kterým viděla do lidské duše až na tři kolena nazpátek. Člověk se jí nemohl bát jako něčeho, co se krčí v temném stínu, ale musel se jí bát jako sám sebe. Ti, kteří si v tomto smyslu neviděli na špičku vlastního nosu, se mohli bát jejího naježeného kocoura. A začalo zaklínání, ze kterého poskakovaly Aničce chlupy na zátylku jako klávesy na klaviatuře. „Čury mury fuk, bílá pára vstává z luk! Kapka krve dračí, deset kapek žluči, teplé srdce ptačí -- už to z kotle hučí“

„Jó, to je marný, ta ženština ví všechno,“ řekl Alfred. „Ve třetím dějství se jí půjdu zeptat, jak máme vyléčit prince. Von totiž bude ukrutně smutnej... A ptám se jí na to úplně pokaždé, přitom by mě zajímalo tolik jiných věcí...“

Úloha č. 3

Ptát se čarodějnice je obtížné. Můžete jí položit jen jedinou otázku. A čarodějnice přitom ví tři důležitá přirozená čísla. V odpovědi užívá jen jediné číslo, ale zato si můžete být jisti, že na vaši otázku odpoví pravdivě. Jak svou otázku formulujete, abyste se dozvěděli všechna tři čísla?

„A proč se jí tedy někdy nezeptáš?“ Alfred na Aničku vrhl vyděšený pohled. „Ale to já nesmím! To by úplně narušilo děj“ „No co. Tak by to bylo projednou nějak jinak. Vždyť život musí být trochu pestrý, ne?“ „Ale...! Ale co by tomu řekli Oni?“ ukázal pohledem na stranu paloučku, kde nebyly žádné stromy. „Oni to chtějí pokaždé stejně, chápeš?“ Anička se podívala naznačeným směrem. Celý prosvětlený palouček se na tu stranu jakoby otevíral a všichni jako by odtamtud něco očekávali. Ale přímo tam byla tma nejhlubší. „Nechápu,“ odpověděla Anička.

Mezi samotným paloučkem a velkou temnotou si Anička všimla ještě jednoho zajímavého místa. Bylo posazeno pod úroveň terénu a osvětlené spoustou mdlých světýlek, skoro jako by to byl příkop plný hvězd, a u každého světýlka seděl jeden pán celý v černém oblečení a třímal nástroj. Jeden hrál na housle, další pískal na flétnu, třetí brnkal na harfu. Tak odtud se celou dobu bere ta nádherná hudba! Teď to teprve začíná zapadat. Ačkoliv nové otázky tím jaksi vznikají. Když se teď Anička víc soustředila, postřehla v hudbě i podivný nelad. Na jejím pozadí se odehrávalo něco rušivého. I všichni muzikanti se otáčeli jedním směrem. U bubnů, které měly zaznít jen výjimečně, v těch nejvypjatějších okamžicích, seděl menší mužíček a bušil do nich hlava nehlava, jak ho napadlo! Takové neštěstí! A když se dost nasytil zvuku bubnů, zkusmo cinknul do trianglu. Na tváři mu zazářil úsměv. Ten úsměv už by Anička poznala i pohmatu. „To je on“

Dále se k situaci Anička vyjadřovat nemohla, protože jí v tom zabránila Alfredova ruka a velmi ostrý pohled. Marně se mu nejvýřečnějšími gesty snažila Anička naznačit, že po té osobě už pase nejméně tři kapitoly a že ji bezpodmínečně musí chytit, dokud vězí v orchestřišti. Alfred ji uzemnil jediným rezolutním prohlášením, že teď tam nemůže. „Ještě počkej na jednu princovu árii a pak bude přestávka. A to si s ním muzikanti poradí.“

A skutečně se z lesíka vynořil muž majestátní postavy, kterého předtím Anička viděla v šeru za paloučkem. Teď teprve viděla, jak byl skvostně oděný. V ruce třímal samostříl a jal se zpívat loveckou píseň. Nebyl ještě ani v polovině a už místo k bílé lani zpíval k oné zamilované víle, zčerstva proměněné v ženu. A než byla árie u konce, už si ji odváděl s sebou na svůj zámek. Když píseň dozněla, ozval se z temnoty za muzikanty ohlušující hřmot, jako by se svět měl každou chvíli sesout. Nikdo ale neutíkal, naopak všichni nábožně naslouchali, dokud se temnota zase neutišila.

„No, a je ruka v rukávě,“ řekla si udiveně Anička. „To šlo docela snadno. Tak to je konec?“ „To budeš ještě koukat, jak se to taky může zvrtnout! Teď máme hotovo teprve první dějství“ prohlásil Alfred a odběhl dozadu za palouček, protože právě spadla opona.

Na oponou odříznutém paloučku se náhle srocovali všemožní lidé a všichni zpěvákovi gratulovali. „Vynikající výkon, seňore Dimitriji, myslím, že jste tentokrát madam Vandu překonal,“ klaněl se Inspicient. „Tento potlesk byl opravdu velkolepý! Skutečně už dlouho se Jim to takhle nelíbilo“

Úloha č. 4

Hlavní sólisti prvního dějství, madam Vanda s Árií měsíce a seňor Dimitrij s Loveckou písní, mají takovou malou hru. Každé představení soupeří, kdo bude mít po své písni delší potlesk. Vítěz získává od Inspicienta x rudých růží a poražený y rudých růží (x je pochopitelně větší než y). Seňor Dimitrij vyhrál pouze tentokrát a minule, jinak vždy vyhrála madam Vanda a už má ve své šatně 30 rudých růží. Seňor Dimitrij pouze 25. Kolik je x? Usychání růží zanedbejte.

„Jak se ten svět promění, jen co spadne opona a Oni nevidí,“ pomyslela si Anička, ale místo dlouhého filosofování se pustila za kouzelníkem. Ten ale samozřejmě nečekal, ani než se basista otočí, a rozběhl se pryč. Než k němu Anička doběhla, zmizel jí v šerém stínu. Anička by ho byla pronásledovala dál, ale celý palouček se začal měnit.

Některé stromy byly odneseny, jiné vyletěly vzhůru, kam až oko nedohlédlo, a na podlahu dosedly okrasné keře a barokní palác. Jezírko se svinulo a nahradila jej zahradní fontánka. Někam se poděly lesní žínky, které se předtím potulovaly po paloučku, přiběhly naopak dámy v plesových šatech a cvičily docela stejné figury. Mezi tím vším mumrajem chodil seňor Dimitrij a sbíral gratulace. Zpoza opony se ozývalo málo příjemné vytí nástrojů z orchestřiště. A zkuste si v takovém chaosu někoho hledat. Aničce se podařilo alespoň narazit na Alfreda.

Byl oblečený celý v bílém a v ruce měl vařečku. Asi se s ní nechystal nic vařit, protože mu jedině zavazela a nervózně si ji přehazoval z jedné ruky do druhé. Jak Aničku uviděl, hned na ni vyhrknul: „Aničko, já mám takovou trému! Já bych tady raději ani nebyl! Hned na začátku druhého dějství mám duet s myslivcem, to se určitě stane nějaká ostuda...“ A stala. Kde se vzala, tu se vzala, přiletěla odněkud velká kulatá bublina, jakých Anička v poslední době viděla více než mraků na nebi, a praskla Alfredovi za uchem. Milý Alfred byl najednou pryč.

„Alfrede! Kde jsi?“ zvolala Anička. „Já jsem tady,“ pípl jí u ucha zoufalý hlásek. „No, to je nadělení,“ spráskla v duchu Anička ruce a běžela pro Inspicienta. „No, to je nadělení“ spráskl ruce Inspicient a začal horečně přecházet. „Alfrede, zpívat můžeš? Můžeš. Ale vidět nejsi. To tedy nejsi. To se Jim nebude líbit, když tě neuvidí... Hraješ kuchtíka, ten je v úvodní scéně klíčový. Nikdo jiný to neumí... Nedá se nic dělat, zatímco Alfred bude hrát kuchtíka, někdo musí hrát Alfreda“ A podíval se významně na Aničku.

Tak perných deset minut ještě Anička nezažila ani před písemkou z dějepisu. Učila se každý krůček Alfredova výstupu a co chvíli kolem sebe slyšela jeho táhlé vzdychnutí. Inspicient kolem nich přecházel jako šelma sedlák a hudroval, že bude muset prodloužit přestávku. A do všeho toho zmatku se občas snesla nějaká bublina a udělala vysoké břink, když praskla u hlavy klavíristy, nebo hluboké „re“, když o ni zavadil nějaký baryton. Když ale přiletěly tři bubliny až k samotnému Inspicientovi, udělaly zvučné „bim--bam--bom“. Inspicient zesinal: „To bylo třetí zvonění, Oni se začnou vracet na místa! Není čas, holoubátka, nějak to zazpíváte.“ A odkvačil.

Dál už byla Anička jako ve snách. V narychlo sešpendlené bílé zástěře se postavila doprostřed zámeckého parku, hned vedle myslivce a neviditelného kuchtíka. Někdo zavolal: „Děvčata, na značky! Armido, neloudej se“ A odněkud přihopkaly tanečnice v plesových šatech a uspořádaly se do přesného geometrického obrazce. Opona šla nahoru.

Úloha č. 5

Značky pro tanečnice mají přesný půdorys trojúhelníku. Rozdělte rovnostranný trojúhelník na a) 15, b) 17 menších rovnostranných trojúhelníků.

Když byla Anička malá holčička, přávala si být baletkou. Teď na ten sen upínala všechny své vzpomínky a přemýšlela, jak jen správně propínat špičky. Velká temnota na ni upírala všech svých tisíc zraků a Anička raději sklopila pohled. A všimla si docela malé klenuté stavbičky těsně před muzikanty. Byla to nápovědní budka a z ní na ni gestikuloval její starý známý v zeleném klobouku. To jí dodalo odvahy. Když někdy jen chvilenku zaváhala, mrkla na Poetu a ten už jí naznačil, co má dělat dál. Brzy byli sehranější než loutkoherec se svou marionetou. Výstup se zdařil až do konce a zcela vyčerpanou Aničku pohltilo šero.

Princ se svou vyvolenou se procházel po zahradě a všude vrcholily přípravy svatby. Kolem šťastného páru však kroužila cizokrajná kněžna a toužila překazit jejich lásku. Bylo jí to přímo na očích vidět, říkala si Anička, a s obavami dál sledovala vývoj situace. Tanečnice ale jako by si ničeho nevšimly, vířily kolem ve vzletných piruetách a tři dokonce vyběhly až před fontánku a zatančily speciální číslo.

Úloha č. 6

Speciální číslo tančí vždy tři tanečnice z mnoha v zámecké zahradě. Aby to ostatním nebylo líto, při každém dalším provedení tančí speciální číslo jiná trojice tanečnic. Kolik provedení je nutných, aby spolu každé dvě tanečnice tančily právě jednou speciální číslo, jestliže je v zámecké zahradě tanečnic 9? A co kdyby jich bylo 8, 10 či 11?

Anička už měla tanců právě tak akorát a začala raději nad věcí uvažovat. Všechny ty zatrachtilé bubliny se přeci nevyfoukly samy. A létaly docela vysoko, takže... Vzhlédla vzhůru. Támhle nahoře, jak svítí ta silná světla, tam musí něco být. Zatímco Anička hledala nějaký žebřík, cizokrajná kněžna si pomalu ale jistě omotávala prince kolem svého šlechtěného prstíku -- a měla to věru snadné, když její sokyně nemohla mluvit. Konečně jeden našla, vedl podél stěny přímo nahoru. Když byla Anička asi v půli, nevěřícně shlédla dolů do zámecké zahrady. „No, to ne! On ji snad opravdu nechá! Mizera jeden...,“ zavrtěla hlavou a byla nahoře.

Úloha č. 7

Z visuté lávky nad hlavami všech zúčastněných byl skvělý výhled na celý rovnostranný milostný trojúhelník: Je dán rovnostranný trojúhelník KLM o straně délky 7 cm. Uvnitř jeho stran KL a LM jsou dány po řadě body B a T. Přitom platí |TL|=1,5 cm a |KB|=2,5 cm. Sestrojte trojúhelník ABC, jehož vrcholy A, C leží po řadě na přímkách KM, KL a jeho těžiště je T.

Ani se Anička nemusela mnoho rozhlížet a už ho uviděla. Kouzelník seděl na druhém konci lávky, skryt všem zrakům, a klátil nohama ve vzduchu. S takovým napětím sledoval výjevy pod sebou, že i zapomněl foukat bubliny. Anička míjela světla, osvětlující zahradu hluboko dole, a kradla se po lávce blíž. Lávka zavěšená na lanech od stropu ji ale zradila, rozhoupala se a stíny dole v zahradě se rozdováděly. Kouzelník ji uviděl a vmžiku byl na nohou. Při pohledu do Aniččiny tváře neváhal ani chviličku a pustil se po druhém žebříku dolů. Anička plná beznaděje se za ním podívala a popadla první provaz, který podél lávky visel. „Tak to Oni dneska teprve něco uvidí,“ pomyslela si, „ty tvrdé palice tam dole by s tím sice nesouhlasily, ale musím jim přeci pomoci, ne? A sobě taky,“ dodala a přelezla zábradlí. Jeden z keřů v princově okrasné zahradě se zavrtěl a lehce se vznesl do výše na svém laně, na jehož druhém konci se přes kladku dolů snášela Anička s elegancí pana Tau.

Když Anička dopadla, maně udělala pukrle. Na druhém konci zahrady se objevil vodník a zapěl několikrát: „Běda, běda“ Kouzelník mezitím slezl s žebříku a proplétal se vyděšeně davem svatebčanů. Anička jej zuřivě pronásledovala, propínajíc vzorně špičky. Vodník dokončil poslední „Běda“ a odvedl zrazenou dívku zpět do lesního světa. Kouzelník a Anička, jako Čert a Káča, dospěli ve své honičce až k nápovědní budce. Anička ho čapla za plnovous a vítězně zazpívala komorní á. Lapený kouzelník využil poslední příležitosti a vskočil do budky. „Opravdu nezůstaneš na třetí dějství?“ zeptal se ledabyle Poeta lelkující vedle budky. „Ani nápad,“ mihla se Anička kolem a zmizela rovněž v budce.

„Škoda, myslel jsem, že by se ti líbilo. Princ přijde svou pravou lásku odprosit až do bažiny uprostřed lesů, kde oba v objetí zahynou. Ach, ten romantismus,“ usmál se ještě Poeta, už jen pro sebe. Spadla opona za druhým dějstvím a spustil se potlesk, jaký nepamatoval ani starý Inspicient.