Zadání 4. série 23. ročníku

Pikosobota proběhne dne 23. února 2008 od 10.00 do 16.00. Sraz je u východu stanice metra Nádraží Holešovice směrem k nádraží Praha-Holešovice (východ bez jezdících schodů).

Termín odeslání: 25. února 2008

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


„Íháhaha, hyhýháhy, frk, pfrrrr,“ prohlásil Pegasos nespokojeně.

„To zní jako práce pro Samuela Morseho,“ pomyslela si Anička a přemýšlela, co se jen jejímu okřídlenému koni nelíbí. Nedalo to mnoho námahy. Před nimi se zničehožnic objevilo temné kroužící mračno, které nevěstilo nic dobrého. O malou chviličku později už bylo slyšet, jak před nimi zlověstně kvílí orkán. Anička měla sotva krátký moment, aby se rozhodla, co počít, když se zběsilé tornádo přihnalo jako utržené z řetězu a -- pohltilo je.

Chtělo by se říci, že Aničce proběhl před očima celý její život. Nebyla by to však pravda. Měla spíš dojem, že se jí před očima míhá celý život někoho jiného. Boty, psí bouda, hrneček, pendlovky, jablko a mnoho dalších věcí. Když se po dlouhém a vysilujícím točení v temném vzdušném kole ocitla na verandě dřevěného domu, který taky letěl povětřím, byla Anička už bez Pegasa. Pomyslela si, že se mu snad nic nestalo, protože podle všech okolností už dávno opustili působnost antické tragédie a ocitli se v pohádce. Chytila se tedy pevně zábradlí, přiručkovala ke dveřím a zaklepala.

Když dům klepnul o pevnou zem, byla Anička kamarádkou s Dorotkou i s jejím psíkem Totem. Vyšly ven podívat se, kam dorazil jejich vzdušný kočár tažený tornádem. Kolem nich se rozprostírala krásná a barevná krajina, o jaké se Dorotce ani nesnilo. Kam jen oko pohlédlo, byla pokryta sady, políčky, zahrádkami a květinovými záhonky. Mezi tím za úhlednými plůtky vyrůstaly modré domky, ze kterých vybíhali jejich modří obyvatelé a nadšeně je vítali.

„Ó né,“ zaúpěla Dorotka, „už zase jsem někoho přimáčkla, ten domek je naprosto neovladatelný“

Modří človíčci -- Mlaskalové, jak se sami označili -- ale ani trochu neželeli náhlé ztráty a všude se rozběhly přípravy velké veselice. Jeden starý učený Mlaskal už se s požitkem chystal dívky zahrnout historickým výkladem o zlotřilostech čarodějnice Východu, která právě skonala Dorotčiným přičiněním, ale naštěstí se právě začalo tančit.

Po tanci se unavené dívky posadily a rozpovídaly se. Snažily se určit, který Mlaskal s kterou Mlaskalkou tančil, ale při podobnosti všech modrých lidiček to věru nebyl snadný úkol.

Úloha č. 1

Mějme tři tanečníky: Alojse, Bublu a Culíka. A také tři tanečnice: Dulku, Elču a Fifi. Tito tvoří tři stálé taneční páry. Každý tanečník je o 6 kg těžší než jeho partnerka. Dále víme, že Dulka je o 9 kg lehčí než Bubla, který dohromady s Elčou váží 153 kg. Elča a Alojs dohromady váží 150 kg. Všech šest váží 438 kg a jejich jednotlivé váhy jsou celá čísla. Kdo s kým tedy protančil slavnost?

Oslava se pomalu chýlila ke konci a Dorotka se chystala na cestu ve svých nových kouzelných střevíčcích po zlé čarodějnici.

„Kam se vlastně chystáš, Dorotko?“

„Musím do Smaragdového města za čarodějem Ozem. Poví mi, kudy se dostanu zpátky do Kansasu.“

„Za čarodějem? Jako opravdovským, co dělá kouzla a vězní princezny? Já vlastně taky hledám jednoho... kouzelníčka. Dělá takové triky a vězní můj bublifuk. Myslíš, že to je Oz?“

„Tak to je báječné, to máme společnou cestu! I kdyby to Oz nebyl, určitě ti poví, kde ho hledat. Oz totiž prý ví všechno“

A tak se naše mladé dámy vydaly na cestu, dlážděnou žlutými cihlami.

Minuly nějaká pole a pár štěpnic a došly k zelinářské zahradě. Uprostřed ní visel na tyči strašák a okolo si pozobávaly vrány, jako by se nemetlo. „Vy proklatci černí, ihned se kliďte z tohoto území, neb vám vůbec nenáleží“ snažil se Hastroš. „Jestliže vás nezastraší vztahy majetko-právní, jistě se vyděsíte gramatiky: být, bydlit, obyvatel, byt,... příbytek, nábytek,... ibys...“

„Ale pane! To se pletete,“ zvolala Anička, „ibis přeci ve vyjmenovaných slovech vůbec není“ Na její rázný hlas se hejno vran vyděšeně zvedlo a s notným krákáním uletělo.

„Ach, skutečně! Děkuji vám, drahá, na to jsem vůbec nepomyslil, že má slova nemají sílu kvůli chybě. Protož se ti bídní příživníci pranic nebáli“

Netrvalo dlouho a zapředli družnou řeč. Hastroš si stěžoval, že mu sedlák, který ho vycpával slámou, nevecpal do hlavy vůbec žádný mozek a že je tedy teď odsouzen k doživotní hlouposti a duševní zahálce. A kdyby nebyl tak suchý, možná by se i rozplakal. To Anička nechtěla dopustit, a tak mu slíbila, že Veliký Oz by mu jistě nějaký mozek věnoval. Slovo dalo slovo a Hastroš chtěl jít s nimi. Anička tedy vnikla do zahrady a rychle Hastroše sundala z tyče, zatímco Dorotka hlídala, jestli se nejde hospodář podívat, kdo mu to krade strašáka.

Chvíli šli mlčky a pak se rozpovídali o tom, co už viděli. Když Hastroš už pátou minutu popisoval zvláštní n-úhelníkovitý tvar mraků nad jeho zahradou, začala Dorotka radši o velké slavnosti Mlaskalů a podobných tanečních párech. Nato se Hastroš zamyslel a pravil: „Kdybyste na každého tančícího napsali jednu číslici... pak by páry tvořily daný poměr... a jestliže protančené střevíčky...“

Úloha č. 2

Hastroš se ve své úloze nakonec ztratil, zadejme si ji tedy raději jednodušeji. Čtyřciferné číslo je dělitelné třemi a přitom poměr první a druhé cifry je stejný jako poměr třetí a čtvrté cifry. Jaké jsou možné hodnoty tohoto poměru, pokud jsou první a třetí cifra různé?

Když Hastroš skončil s tanečníky, věnoval svou pozornost přepočítávání patníků u cesty vůči vzorci dlažby. Anička si už už chtěla vzdychnout, že je to nuda skoro jako ve škole, když se stalo něco podivného. Vzduch okolo se rozechvěl, obraz krajiny byl najednou ten tam a Anička udělala veliký dlouhý kotrmelec vpřed mimo čas a mimo prostor. Měla zamotanou hlavu skoro, jako když sem propadla poprvé. Posadila se. Byla stále na cestě, ale ta už vedla lesem. Vedle ní a Hastroše stál vysoký železný muž a vedle něj Dorotka znepokojeně prohlásila: „Kde ten Lev zase vězí? Už tady měl přece dávno být.“

„Kdo... kdo to je?“ zmohla se Anička ukazujíc na muže ze železa.

„To je Plecháč, potkali jsme ho v lese, vzpomínáš?“ pomáhala jí Dorotka. „No ba že si nevzpomínáš! Vždyť ty jsi teď přeskočila několik stránek! Nebolelo to?“

Anička otupěle zavrtěla hlavou a přemýšlela, jak je to jen možné. Ale vždyť ona nechala doma otevřené okno! Pod oknem teď leží její knížka pěkně přes zadání Pikomatu a vítr v ní obrátil pár stránek...

To se tedy máme ještě na co těšit, pomyslela si Anička a nahlas řekla: „A proč jdeš k Velkému Ozovi ty, Plecháči?“

„Já nemám srdce,“ prohlásil Plecháč teskně, „ani jedno.“

„Opravdu?“ vylekala se Anička, vyskočila a vzala za malou kličku na Plecháčově hrudi. Otevřel se před ní krychlový prostor -- a docela prázdný. Tedy skoro.

Úloha č. 3

Plecháčovy útroby tvaru krychle ABCDEFGH o hraně délky 40 cm skrývají pavoučka. Pavouček si v krychli už natáhl dvě vlákna. Jedno ze středu stropu do bodu C a druhé z vrcholu H do středu stěny BCGF. Ukažte, že se vlákna protínají, a určete, ze kterého místa stropu se musí pavouček spustit, aby přistál na průsečíku vláken.

„Fůj, pavouk! Zabte to“

„To vás nesmí ani napadnout“ ohradil se Plecháč, „jestli je tam něco živého, ať to tam jen pěkně zůstane. Aspoň malé srdíčko ve mně bude bít, když už nemůže velké a propůjčit mi tak cit.“

A zaklapl rázně dvířka.

Jen co se Anička trochu vzpamatovala, rozhrnul se keř jasmínu bílého u kraje cesty a vynořil se z něj veliký lev. Rozevřel tlamu a vydal mohutný řev, který se ovšem po malé chvíli změnil v táhlé vzdechnutí. Dorotčin psík Toto se zuřivě rozštěkal a Lev se schoval Dorotce za sukni.

„Na tohle já už dnes opravdu nemám nervy,“ posteskl si Lev. „Cestou sem mne v lese obklíčilo pět zajíců a že si s nimi musím zahrát bezpodmínečně hopkanou. Bylo jich tolik a já tak sám. Vzdal jsem se jejich nátlaku a zdržel se hopkáním. A ještě ke všemu,“ rozechvěla se Lvu brada, „jsem skončil úplně poslední. Chvěla se mi kolena a nedokázal jsem už správně skočit. A ještě za mnou volali: Ó náš pán král zase prohrál, zase prohrál! Už toho mám tady dost.“

Úloha č. 4

Lev hrál s pěti zajíci turnaj v hopkané. Při turnaji hopkal každý s každým. Za výhru byl jeden bod, za remízu půl bodu. Žádní dva účastníci nedosáhli stejného počtu bodů. Vítěz získal stejně bodů jako poslední tři dohromady. Lev, poslední v turnaji, remizoval s vítězným zajícem i s druhým. Remízou skončily celkem tři hopkací souboje. Určete výsledky všech soubojů v rámci turnaje.

Anička vzala Lva kolem šíje a prodrbala mu hustou hřívu. Notný čas Lva střídavě utěšovali a pak s ním vyrazili za Velkým Ozem pro Lvovu odvahu.

Po cestě se Anička přitočila k Dorotce a povídá: „Nezdá se ti, Dorotko, že ti tvoji společníci jsou trochu nedovtipní? Proč jen chce Hastroš svůj mozek, když už tak je chytrý až běda? Skoro bych řekla, že má o kolečko navíc. Nebo Plecháč, jediný se slitoval nad tím odporným pavoukem, k čemu ten by ještě potřeboval citlivé srdce? A Lev? Ten není zbabělý, snad jen trochu osamělý, trocha pošramocené sebedůvěry...“

„Pšt“ odpověděla na to spiklenecky Dorotka, „jistěže Ozovu pomoc vůbec nepotřebují, ale to se dozví až na téhle cestě. A navíc -- vůbec se mi nechce jít samotné,“ mrkla ještě na Aničku.

Procházeli dál lesem. Byl to pořád tentýž les, ale nějak podivně se měnil. Stromy byly najednou jakoby vysázeny ve čtverečné síti, pařezy byly přesně válcové a šišky ze stromu padaly přesně pravděpodobně. Ani naše poutníky nenechával sílící tlak bez příznaků. Neustále se jim do myslí vtíraly přímky zástupů stromů, a když někdo čas od času řekl nahlas nějaké číslo, ostatní hned zjistili, že na něj vlastně mysleli také. Když tu se před nimi z lesa vyloupla obdélníková mýtina a na ní úhledný domeček jako ze škatulky.

Před domečkem seděly dvě babičky a pletly ponožky.

„Ty Mando, podivej, někdo k nám jde.“

„No jo, Maxi, opravdu, pět celých pes cizinců! Běžím pro čaj,“ řekla Manda a odbelhala se dovnitř.

Než se skupinka přiblížila k domečku, Manda už přicinkala na zápraží s čajovým servisem. „Vítejte a dejte si několik nenulových množin čaje! Je libo prvočíselný počet kostek cukru?“ rozplývala se Manda v hostitelské povinnosti, ale Maxi po ní loupla tak zlým pohledem, že se hned zarazila a posadila se vedle ní. Chvíli mlčky pletly a pak si vyměnily rozpletené ponožky.

Úloha č. 5

Manda i Maxi pletou každá stejnou ponožku. Manda ji stihne uplést za hodinu a čtvrt. Maxi by to stihla za dvě a půl hodiny. Domluvily se, že si po nějaké době rozpletené ponožky prohodí, aby skončily zároveň. Kdy si mají pletení prohodit? Kdy skončí?

Dorotka si tedy způsobně nalila čaje, neboť ji teta Ema naučila, co se sluší a patří.

„Máme dnes ale krásně,“ snažila se zavést konverzaci, „stíny jsou tak ostré, že by se podle nich daly měřit vysoké objekty, nemyslíte?“

Maxi se na ni nechápavě zahleděla a nadhodila: „Ale jak to hřeje! Teplota je dnes obzvláště desetinná...“ A zase zmlkla.

Lev chtěl taky něco říci, ale pod pohledem Maxi v něm najednou všechna slova uvázla a řekl jenom: „Čtyřicet dva.“

A všichni sami od sebe pokývali hlavou: „Jo jo, přesně.“ A kývali, než se vzpamatovali a rozpačitě se rozhlédli.

Manda se rozhodla zachránit situaci a natáhla se nahoru na trám pro mísu koláčů. Postavila ji doprostřed dokonale kulatého stolu. „Berte si, jen si berte“ zvolila nanejvýš neutrální tón. Pak se ale neudržela, a když si Anička i Dorotka nabídly povidlový, vykřikla pohoršeně: „Ale slečny, to nemůžete, vždyť sedíte vedle sebe“

Tu Maxi rozčileně vyskočila a příkře řekla: „Mandibulo! Už sem zase taháš ten starý problém?“

Úloha č. 6

U kulatého stolu sedí sedm lidí (a jiných humanoidů). Každý z nich dostane koláč jednoho ze čtyř druhů (tvarohový, makový, ořechový, nebo povidlový). Kolika způsoby to lze provést tak, aby žádní dva jedlíci, kteří sedí vedle sebe, nedostali stejný koláč?

„Tak to vidíte,“ řekla Maxi po chvíli rezignovaně, „takhle je to teď tady pořád. Nechápeme, co se děje. Rozlézá se tady --“ naklonila se Maxi blíž posluchačům a zašeptala, „matematika'' Je tady všude, okolo! Prosakuje sem odněkud zdola...“ zakončila tajemně a všichni se ustrašeně zahleděli pod stůl.

„Vy myslíte, že dům je postaven na matematickém podloží?“ zeptal se Lev zaujatě a úplně zapomněl, že se Maxi vlastně poněkud obává.

„Ale kdeže postaven! To byl odjakživa na týdle mýtině, ale před časem se s tim něco potentočkovalo, rozumíte.“

Anička rozuměla. To všechno způsobila ona, když na sebe pohodila zadání Pikomatu i svoji knížku. Už slyšela v duchu svoji maminku, jak jí hubuje, že s knihami se má zacházet s úctou, a vůbec jí to nebylo příjemné. „Já to všechno napravím, jen co přijdu k Velkému Ozovi. Slibuju,“ vykřikla.

Rozloučili se se stařenkami a vydali se dál po žluté cestě. Nešli ani příliš dlouho, ani příliš krátce a stanuli konečně u bran Smaragdového města.

Jménem samotného Oze je přivítal dveřník a jal se jim nasazovat brýle. Byl celý oblečen v zeleném šatu starodávného střihu s malým kloboučkem na týle. „Tyto brýle jsou vaší vstupenkou do Smaragdového města, každý, kdo chce vstoupit, je musí mít,“ šveholil a obratně jim vybíral správné okuláry.

„Proč?“ chtěla vědět Dorotka.

„Ó, drahá slečno, je to jen a jen pro vaše dobro! Záře Smaragdového města je tak silná, že by vás v místě připravila o zrak. Navíc,“ zamračil se zostra na Dorotku, „je to příkaz Velikého Oze“

Dorotka zmlkla a už nic nenamítala. „A ze stejného důvodu vám všechny brýle na hlavách uzamknu, je to pro vaše zdraví“ zavrčel.

Když se dveřník chvíli věnoval Aničce, špitla: „Poeto, jsi to ty? Já věděla, že tě tu někde potkám“

„To víš, že tě tu s celou zemí Oz nenechám samotnou! Ještě bys přišla o pointu.“ Zamrkal na ni a nechal jí brýle nezamčené.

Procházeli městem a rozhlíželi se udiveně kolem sebe. Taková nádhera! Krásnější místo dosud nespatřili! Vysoké elegantní domy, široké ulice a ten třpyt a ta barva! Všechno vůkol bylo postaveno ze zeleného třpytivého kamene, nebo to snad bylo sklo? Oči přecházely z té nádhery a všichni v duchu blahořečili Ozovi, že mají jeho kouzelné ochranné brýle.

Všichni až na Aničku. Té jediné to stále vrtalo hlavou, a tak po očku pokukovala, nezahlédla-li by přeci jen něco pod obroučkou brýlí, kdyby si ji takhle trošinku poodstrčila. A zahlédla. Docela šedou, omšelou zeď, beze vší nádhery a třpytu. „Je to ten Oz ale starej podvodník,“ odfrkla si nakvašeně, „kdo ví, kolik lidí mě ještě takhle šidí?“

Došli konečně k Ozovu paláci. Když oznámili, co chtějí, ustrašení sloužící je uvedli do předpokoje přijímacího sálu. Dorotka byla uvedena dál a ostatní na ni museli počkat. Krátili si zatím chvíli pozorováním skvostného vybavení pokoje a nade dveřmi do sálu si povšimli Ozova erbu s hrdým O uprostřed.

Úloha č. 7

Drobný erb nade dveřmi měl uprostřed kružnici o poloměru 5 cm. Do ní byly vepsány obdélník a rovnoramenný trojúhelník tak, že základna tohoto trojúhelníku je zároveň delší stranou obdélníku. Jaké jsou délky stran obdélníku a trojúhelníku, jestliže tyto útvary mají stejný obsah?

Vtom se vrátila Dorotka ze sálu. Byla celá ztrápená, sedla si na schůdek a usedavě se rozplakala.

„Oz pro nás vůbec nic neudělá, dokud nezabijeme zlou čarodějnici Západu. Co si jen počneme?“

Anička procedila mezi zuby: „To je ale nehoráznost! Ale já tomu slavnýmu Ozovi srovnám pírka“ a vtrhla do sálu dřív, než ji kdo mohl zadržet.

V čele prostoru stál mohutný trůn a na něm byla usazena veliká kulatá hlava s povadlými rysy, která asi Dorotku tolik vystrašila. Hned vedle ní seděl na zemi starý scvrklý pán a ještě držel v ruce nějaké provázky, kterými patrně hlavu ovládal. A na vrcholku vysokého trůnu seděl Aniččin starý známý kouzelník, klátil nohama, foukal bubliny, které pokrývaly podlahu květy, a byl očividně v dobrém rozmaru.

„To jsme jí ale nahnali, co říkáš?“ promluvil kouzelník skrze dlouhý vous ke scvrklému pánovi nečekaně vysokým hláskem.

„Tak to budeš teprve čubrnět, co ti naženu já“ rozkřikla se Anička a rozběhla se přes přijímací sál.

Scvrklý pán vyskočil, jako když ho píchne, a schoval se za trůn, pokoušeje se zase rozpohybovat velkou hlavu. Kouzelníku v černém v očích zaplály radostné ohníčky a rozfoukal opět svůj bublifuk. Anička si už vyhrnovala rukávy, aby si proklestila cestu zástupy mokrých kuliček, když se to stalo zas.

Stěny sálu se rozvibrovaly vysokým kmitočtem i s trůnem a dvěma podvodníky. V příštím okamžiku všechno zmizelo a Anička letěla dalším obrovským skokem po hlavě dopředu, do neznáma. Vítr v Aniččině pokoji si opět zvědavě prolistoval pohozenou knihu a hledal, co bude asi v příští kapitole...