Zadání 1. série 23. ročníku

Termín odeslání: 15. října 2007

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


„Ví, děti, někdo, co je akrostichon?“ ptala se už potřetí nervózně učitelka češtiny, když konečně zazvonilo. Tím zázračným signálem byla její tísnivá moc nad přikrčenou třídou definitivně zlomena a slova se ujímali třídní vůdcové. „Kdo jde odpoledne na pinec?“ „Kdo si přijde večer k Adamovi zahrát?“ „Kdo zůstane poslední ve třídě, je vometák“ Třída se valem vyprazdňovala a učitelka se už mohla pustit tabule, aniž by se musela bát o svou rovnováhu.

„Kdy ti naši kluci konečně dospějí“ posteskla si Anička kamarádce Klárce, když před školou míjely kluky hopsající výlučně po dlaždicích jedné barvy. „Jak se pak má dívka našeho věku zodpovědně rozhodnout! S takovým materiálem...“ dodala ještě rozmrzele a přehodila si aktovku hrající odstíny růžové na druhé rameno. „To máš pravdu, Annie.“ Klárčina kamarádka byla sice Anička, ale říkat se to nesmělo. Není přece nějaká malá holka. „Je to hrůza,“ přitakala Klárka, aby si Aničku získala pro svůj nový objev. „Podívej Annie, na co jsem o zemáku přišla“ vytasila se Klárka s kouskem papíru. „Když takhle poskládám papírek...“ muchlala Klára cosi na koleně. „Tak teď stačí jen takhle jednou střihnout“ -- Klárka udělala elegantní šmik, „a když to teď rozložím, mám z toho velké H! Jde to i s obalem od bonbónu“ zářila Klárka a podívala se, jaký udělala na Aničku dojem. Ta však jen obrátila oči v sloup, prohlásila: „Oh, my goodness“ a otočila se k odchodu.

Úloha č. 1

A co vy? Máte k dispozici obdélníkový papír. Dokážete vystřihnout velké tiskací H jedním střihem, když ho složíte? Jak jste papír skládali?

Že by na Klárku počkala, to už Aničku ani nenapadlo. Naopak pospíchala na místo, kde se měla toho dne potkat s maminkou. „Jsem zde,“ řekla, když přišla k mámě čekající na rohu. „Ahoj Aničko“ Ne, mamince se nedůstojnost starého oslovení vysvětlit nepodařilo. „Jaký jsi měla den?“ optala se maminka, když vyrazily směrem k domovu. „Ale jó. Ulezlo to. Mám jedničku z matiky.“ „Opravdu?“ zaradovala se maminka. „Hm,“ přisvědčila Anička. Matematika jí sice šla docela dobře, ale nijak nadšená z ní nebyla. O to méně, oč růžověji si rodiče představovali její dalekou zářnou budoucnost ekonomky. „Tak to jsi mi udělala radost! I mně se dnes dařilo, tak víš co? Něco ti tady koupím. Bude se ti to líbit, uvidíš“ Zastavily se u výlohy obchodu s velmi smíšeným zbožím. Aniččina maminka ji chvíli obhlížela jako lovec na čekané, pak jí zajiskřily oči a vrhla se do obchodu.

Úloha č. 2

Dovnitř Anička nechtěla, tak se pokusila uhodnout, na co asi mohl mamince dopadnout zrak. Uviděla konstrukci z jakési stavebnice. Zepředu to vypadalo trochu jako bubínek... Když se na stavbu podívala seshora, zjistila, že vidí totéž, ale vzhůru nohama! (Na obrázku vlevo je pohled na těleso seshora. Na pravém obrázku je pohled na těleso zpředu.) Zalapala po dechu, zakroutila hlavou, popadla máminu tašku s nákupem a vyrazila radši napřed.

Existuje takové těleso? Dokážete nějaké vymyslet? Dokážete najít dvě různá tělesa s těmito vlastnostmi?

Sotva Anička dorazila domů, začala umisťovat potraviny, které maminka koupila, na svá místa. Z ničeho nic proletěla za oknem bublina. Malá, okrouhlá, několikrát zatančila před oknem, jak s ní zacvičil vítr a rozpleskla se o skleněnou tabuli. Stěží slyšitelné plop zastavilo Aničku v jejím pracovním zaujetí. Zvedla hlavu. Na okně rychle vysychalo mokré kolečko. Anička se na něj nechápavě zahleděla, ale to už zarachotily v zámku klíče a maminka se zjevila ve dveřích. Byla celá rozesmátá, trochu pocuchaná od větru a byla v tak dobré náladě jak v posledních letech málokdy. Do kuchyně vletěl vířivý roj bublin. Jedna z nich se usadila nevěřícně přihlížející Aničce uprostřed čela, utvořila pohlednou kupolku, rošťácky na Aničku zamrkala a praskla.

„Elá hop, tramtadadá! Vzdálené poselstvo vám přináší tento dar, vzácná dámo. Račte jej prosím přijmouti do svých křepkých ruček“ prohlásila maminka, pokusila se o pukrle a podala Aničce bublifuk, který celou kalamitu způsobil. Anička jej křečovitě sevřela, polkla a řekla: „To myslíš vážně? Koupilas mi bublifuk?“ „No jasně“ rovnala se maminka namáhavě z pukrlete, „jako malé jsme ho zbožňovaly! Víš, jak si s tím člověk vyhraje? Vždyť je to kouzelné! Podívej“ Už už se chystala vyčarovat novou spršku bublin, ale vítr od úst jí v poslední chvíli vzala Anička. „To si jako myslíš, že jsem nějaká malá holka, nebo co?! Bublifuk! Taková pitomost! Já doufala, že mi přineseš něco užitečného, třeba blyštivou rtěnku nebo nějakej kúl časák! Takhle maličko jsem doufala, že mi koupíš ty velký červený kruhový náušnice, co je nosí holky z devítky, abych konečně vypadala trochu k světu! A ty mi koupíš takovej dětskej krám. Matko, vzbuď se, už nejsem žádná infantilní cácorka. Zato ty se chováš jako malá.“

Radost mamince rychle vymizela z obličeje. Najednou byla zase taková jako každý den z tří set šedesáti pěti, co jich v roce za sebou ubíhá, unavená, upracovaná, pokleslá a bez života. „Hoď něco na sebe, pojedeme se mrknout za dědou.“ Za dědou?, vyskočily Aničce v hlavě výstražné semaforky. Dědeček byl nesmírně letitý a pomalý pán. Vážená hlava rodu milovala svoje nevážné historky. Bohužel natolik, že si každou rád zopakoval a neopomněl zdůraznit, jak moc je veselá. Nejčastěji zkoušel duchapřítomnost rodiny povídačkou o vlastním dědovi Jenovi, který pocházel z široké rodiny, až trochu moc, pomyslela si občas Anička.

Úloha č. 3

Ingrid, bájná Jenova sestra, prý ráda zdůrazňovala: „Součet počtu všech různých dvojic mých drahých sester a počtu různých dvojic mých přemilých bratří je roven věku, kterého se dožila naše prababička.“ V tu chvíli často Jen prohlásil: „Když však já sečtu počet všech různých dvojich mých sester s počtem různých dvojic mých bratří, dostanu číslo o celých šest menší.“ K tomu údajně jejich otec vždy bez otálení dodával: „To trojnásobek počtu všech mých ztepilých synů je dvojnásobkem počtu všech mých milovaných dětí, co vás tu vidím“ Z kolika dětí byl prapraděd Jen?

Imaginace dědečka zpravidla doprovázela tuto historku ještě osvědčenou sérií dalších, neméně povedených, o jiných Jenových sourozencích, ale ty už žádné počty nevyžadovaly, takže rodina zpravidla odpočívala. Anička si otřela orosené čelo. Hned za představou dědečka vyplul přesvědčivý obraz babičky. Rázné ženy, která vždy nejlíp věděla, jak má co udělat -- a nejen ona. Babička obvykle nejlíp věděla i to, jak má co udělat kdokoliv další. V žádném případě si nenechala na své drobné rituály sáhnout. Anička babičku občas podezírala, jestli opravdu všechny ty záhadné receptury dodržuje, i když se nikdo nedívá...

Úloha č. 4

Milá babička totiž měla utkvělou představu, jakým způsobem by se měly sušit ponožky na šňůře. Vždycky, když usušila 23 ponožek, chtěla je vyměnit za 19 ještě mokrých. Vyměnit je ovšem nikdá nebylo jen tak! Muselo se buď vyměnit tři suché za jednu mokrou. Nebo přidat ke každé jednu do páru (ke každé suché přidat další suchou a ke každé mokré mokrou), anebo je ještě možné sundat tři mokré ponožky. Mohla to takhle babička vůbec zvládnout? A jak to dokázala?

„Aničko, no tak, pojďme. Víš, jak se na tebe dědeček těší, tvá návštěva mu moc prospěje.“ Děvče dál stálo jako hluché. Řekla si, že být uražená je vlastně elegantní způsob, jak se z toho vyvléci. Zatvářila se patřičně dramaticky. Maminka si povzdychla. „Už abys skutečně vyrostla.“ Vzala kabát a opustila předsíň.

Ležící Anička zírala do stropu. Necítila se nejlíp. Bylo sice nakonec dokonale po jejím, ale nedokázala si to správně vychutnat. A byla doma úplně sama. Cítila, že jestli bude ještě chvíli ležet a myslet na předešlé události, něco hrozného po ní skočí a zahryzne se jí to do hlavy. Vyskočila z postele a hledala, čím by se zaměstnala. Na nočním stolku ležel její náramek z červených a zelených korálků, jenže byl roztržený a kuličky ležely bez ladu a skladu.

Úloha č. 5

Anička vzala korálky a seřadila je do řádky. Nijak nad tím nepřemýšlela, takže mohlo být pořadí korálků libovolné. Celkem v řadě leželo 12 červených a 9 zelených korálků. Anička začala korálky přemisťovat, ale vždy jen tak, že vzala jeden korálek a ten umístila na jiné místo v řadě. Náhle byla řada symetrická podle prostředního korálku. Kolik nejméně korálků musela Anička přemístit, aby z jakéhokoliv počátečního rozmístění korálků v řadě vytvořila symetrickou řadu?

Šikovně navlékla seřazené korálky na pevnou nitku a hrdě se svým výtvorem ozdobila. A co teď? Bezcílně zakroužila po pokoji a dosedla za stůl. Leželo na něm zadání Pikomatu. Zhoupla se na židli a zabořila do něj oči: Byly jednou dvě kamarádky, které bez sebe navzájem ani zlomek nezlomily. Ta starší, která si vždy dala dvě a dvě množiny operací dohromady o chvilku dřív, se jmenovala Maxilla a ta menší, která vypadala, že by na jedné ruce do 31 neuměla napočítat, ale to byste se v ní mýlili, to byla zase Mandibula. Všude jich bylo plno a společně rozlouskly každý matematický problém. Jednou si takhle vyšly do lesa na jahody a v nejhlubším lese strnuly překvapením. Uprostřed trávníku a borůvčí ležela obrovská kamenná deska s vyrytými kolmými čarami. Maxilla prvním pohledem zjistila, že se jedná o čtvercovou síť ve tvaru přesného čtverce, Mandibula rychle spočetla, že jedna strana čítá přesných 117 čtverečků. Vedle desky ležela velká hromada oblázků a naproti ní nemenší kupa šnečích ulit. Naše duo M$M nebylo třeba dále pobízet. Vrhly se k desce a až do setmění hrály roztodivné hry...

Úloha č. 6

Individuální vkus obou dívek byl pochopitelně různý, ale na jedné věci se kupodivu shodly. Ulita je jasně +1 a oblázek zase -1. Na desce v průběhu hraní vznikaly různé obrazce, ne všechna pole byla vždy obsazena. Myslíte, že bylo možné, aby v nějakém nestřeženém okamžiku součty hodnot v každém řádku, každém sloupci a obou uhlopříčkách desky byly navzájem různé?

„Fajn, zase matika,“ zabručela si Anička, na to jsem tak zvědavá. A čím dál rozmrzelejší hodila nebohé zadání za hlavu. Tu si vzpomněla na kamarádku Kláru. „Jak ona to písmeno jenom vystřihla?“ zamyslela se a už ohýbala jakýsi papírek. Střih! Ale ne! V nepořádku na stole se skrývala její oblíbená knížka a teď má prostřiženou stránku! Čím si tenhle den zasloužila! Zalistovala poraněnou knihou. Měla na ni spoustu krásných vzpomínek. Byly v ní příběhy jejího dětství. Když byla nemocná nebo když se bála večer sama potmě v posteli, přišla máma a četla jí přesně tenhle příběh o cirkusovém klaunu! Nebo tenhle o králi s velkýma oslíma ušima. Z téhle knížky si Anička vždycky ráda četla, zvlášť když jí bylo smutno. Svět se mezitím vybouřil ze své nevlídnosti, nebo ona ze své, a mohla do něj s chutí znovu vykročit. Měla ji vždycky dobře uloženou někde po ruce tak, aby ji nikdo neobjevil, nebo dokonce nepřistihl, jak si v ní čte! Zamyšleně se houpala na židli, až jí pohled sklouzl na stůl, kde stál její nový bublifuk.

Roztržitě po něm sáhla, ušklíbla se a vyfoukla houfec bublin. Na bublifuku byl nakreslený vousatý stařík v černém hábitu se špičatým černým kloboukem na hlavě. Tváře nafouklé, celý brunátný a napůl v předklonu, jak usilovně dul do onoho bublifuku, aby vyčaroval bublinu úctyhodných rozměrů. Anička zavrtěla hlavou a foukla nanovo. Bubliny zaplnily prostor a pokojně pukaly. Zvědavě se na ně zahleděla. Některé byly větší, jiné menší, proplétaly se kolem sebe, odrážely okolní svět v duhových barvách a někdy se i některé spojily do dvojic či trojic.

Úloha č. 7

Aniččin zrak upoutala jedna taková trojice bublin. Dvě bubliny takhle dosedly na třetí a spočívaly na ní vedle sebe jako dvě vypoulené oči veliké žáby. Anička si všimla, že se v nich odráží šestiúhelníkový terč, který visel na stěně od posledních Vánoc. Geometricky by se celá situace dala popsat takto: Jsou dány kružnice k s poloměrem a=24 cm a kružnice l s poloměrem b=7 cm. Kružnice k protíná kružnici m v bodech P a Q, kružnice l v bodech Q a R. Body P a R leží na průměru kružnice m, úsečky PQ a QR jsou stranami pravidelných šestiúhelníků vepsaných do kružnic k a l. Spočtěte obvod kružnice m.

Když poslední bubliny splaskly, neváhala Anička, zaklonila se se židlí labužnicky ještě víc a vyfoukla třetí roj. Bubliny kolem ní zavířily a oslňovaly ji odlesky slunečních paprsků. Najednou se jí z toho všeho zatočila hlava. Zavrávorala, zalapala po rovnováze, ale v tu chvíli jí o nos praskla jedna mimořádně macatá bublina a s Aničkou se obrátil celý svět nazad. Knížka, která jí do té chvíle spočívala na klíně, se vymrštila do vzduchu a opsala ladný oblouk. Všude kolem praskaly bubliny a Anička padala a padala, až dopadla.

V pokoji bylo pusto. Jen Aniččina kniha příběhů s buchnutím dopadla na pohozené zadání Pikomatu a zůstala otevřená veprostřed svazku. Z otevřeného okna vylétly záclony.