Zadání 4. série 22. ročníku

Termín odeslání: 5. března 2007

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


Páteční odpolední nebe se zlobilo. Bylo ušmudlané a do uliček Lindenburgu spouštělo provazy studených slz. Mezi kluky panovala podobná nálada, už od rána (marně) přemýšleli v hospodě nad čajem. Nejvíc je samozřejmě trápila Medvědí jeskyně. Cukřík si vynutil jejich předčasný odchod a těžko říct, co v jeskyni objevil. Matěj právě dočetl Město a hvězdy A. C. Clarka, vrátil knihu do batohu a nechtěně se tak vrátil do reality.

Oliver si konečně přestal hrát s kšiltovkou a zašeptal: „Budeme se muset podívat do jeho domku a tu věc najít, jenže jak to udělat nenápadně?“

Petr tiše odpověděl: „Což o to, mně zítra přijede na návštěvu Magdalenka, a když si získá důvěru pana Cukříka... horší je, že vlastně nevíme, co hledáme.“

Dveře hospody se otevřely. Dovnitř se vkutálel funící pan Cukřík, následován paní Svobodovou, dědkem Mrázem a v závěsu za nimi okultista Forester s provokativně se vlnící kravatou. Šli se posilnit před pravidelnou páteční seancí.

„Tak koho vyvoláváte dnes?“ zdravil je hostinský.

„Dvorního mate...“ větu však paní Svobodová nedokončila, neboť do ní kulatý pan Cukřík strčil rádoby něžně loktem.

Monty obrátil oči v sloup: „Snad abychom šli, ne?“ Oliver vrátil kšiltovku na hlavu a i ostatní se začali zvedat. Petr vyrovnal účet. Hostinský bohužel neměl drobné, a tak dal Petrovi mince, které platí jen u něj v hospodě, čímž kluky notně popudil, protože je budou muset utratit opět u něj.

Úloha č. 1

Zpátky od hostinského obdržel 12 mincí v celkové hodnotě 78 Kč. Složení mincí Péťovi připadlo zvláštní -- měly jen tři různé hodnoty. Od jedné hodnoty dostal dvě mince, od druhé čtyři a od třetí šest. Mince s největší a nejmenší hodnotou celkem tvoří polovinu celkového počtu mincí. Mincí s nejmenší hodnotou je dvakrát více než je hodnota jedné z nich. Hodnota všech mincí s nejmenší hodnotou je o 3 Kč vyšší než je hodnota jedné mince prostřední hodnoty. Jaké mince Péťa od hostinského dostal?

„A co se k Cukříkovi vypravit teď?“ vyslovili stejnou myšlenku Gill a Oliver.

Monty se rozhlédl. V ulicích nikdo nebyl, jen šero. Z oken tu a tam blikaly barevné obrazovky televizorů. Špinavá voda sbíhala od hradu k náměstí a hledala si mezi dlažebními kostkami cestu ke kanálu. „Co by ne, přece nebudeme čekat na Magdu, když se naskýtá taková příležitost... Jenom musíme jít oklikou -- zadem.“

Dostat se do Cukříkovy pracovny nebylo kupodivu nikterak těžké, klíč od domu našli kluci skoro okamžitě za květníkem na parapetu. Také Cukříkův ratlík je vesele vítal vrtícím ohonem. Kluci se zuli, aby uvnitř nenašlapali. Zatáhli těžký olivový závěs a rozsvítili lampu. Na stole ležela otevřená lindenburgská kronika. Matějovi to nedalo, a zatímco ostatní prohlíželi místnost, nahlas předčítal do knihy vlepený výstřižek novinového článku.

Úloha č. 2

„Dle jednacího řádu proběhne hlasování následujícím způsobem: Starosta vytvoří ze sta radních lichý počet komisí (každý radní bude v právě jedné komisi). Každá z těchto komisí uskuteční hlasování. Pokud více než polovina členů komise hlasuje pro, dává celá komise souhlas, pokud tomu tak není, má se za to, že komise je proti. Nakonec se sečtou hlasy jednotlivých komisí, návrh bude přijat, pokud ho odhlasuje více než polovina komisí.

Je všeobecně známou skutečností, že má starosta mezi radními pouze deset příznivců, proto se nepředpokládá, že by svůj návrh mohl prosadit.“

„Jestli byl při rozdělování do komisí aspoň trochu šikovný, podle mě se mu to i mohlo podařit,“ zašklebil se Oliver.

Má Oliver pravdu? Proč?

„O čem to hlasování vlastně bylo?“ zeptal se Matěje Monty.

„Hlasování o stavbě železnice v Německém Brodě,“ přečetl nadpis článku Matěj.

Petra kronika nezajímala, byl plně zabrán do prohlížení zásuvek. Vyrušil ho až Gill: „Pojďte se podívat na tohle“

Úloha č. 3

To, co Gill objevil, byla stará oprýskaná špinavá dřevěná krabice čtvercového půdorysu. Po stranách do ní bylo vyvrtáno osm kruhových děr, jako je vidět na obrázku.

Ve víku bylo osm štěrbin, které jsou zakresleny čárkovaně na následujícím obrázku (pohled shora). Do štěrbin byla zasunuta dvě čtvercová zrcátka.

„K čemu je tohle dobré?“, divil se Gill.

Monty rozjařeně přiběhl a prohlásil: „Můžeš do toho třeba svítit baterkou a zkoumat, z kterého otvoru to světlo vyjde...“

„Anebo vás můžu nechat hádat, jak jsou zrcátka umístěna,“ chytil se nápadu Gill.

Jaký je nejmenší počet posvícení, který klukům stačí k tomu, aby určili polohu těchto dvou zrcátek? Poznámka: Zrcátko zrcadlí z obou stran. Na začátku kluci neví, jak jsou zrcátka v krabici umístěna.

Krabice byla místy od hlíny a i zrcátka působila dosti zašle. Na víku byl nápis, který už kluci znali: Potro Melenudo. Monty mrkl na kluky a potom na hodinky, bylo bezmála osm hodin. „Vřele doporučuji opustit jámu lvovou,“ zahlásil.

„Neb toto jest, čehož jsme si žádali, a krutý vládce navrátí se co nevidět,“ zazubil se Oliver. Petr zhasl a vrátil závěs do původního polohy. Krabici vzali s sebou, zamkli a klíč vrátili na místo. Ratlík dávno usnul v kuchyni.

Venku už nepršelo. Podmínky pro vysoušení Matějova promočeného stanu se tím pádem trochu zlepšily. „Jaks mohl nechat stan otevřený?“ zlobil se Monty, aniž by si vzpomněl, jak na Matěje ráno spěchal.

„No jasně, index...“ Většina inkoustových podpisů sice vypadala jako podpisy, ale těžko byste určovali, jestli Montyho zkoušky zapisoval jen jediný docent, nebo jestli těch osob bylo několik a jak se jmenovaly.

„Proč ho tu vůbec máš s sebou?“ rýpnul si Oliver. A to možná neměl dělat, Monty pak už celý večer s nikým nepromluvil.

Petr rozdělal oheň a ostatní pomáhali s vysoušením.

Úloha č. 4

Jen Monty seděl stranou. Nadešla opět chvíle, kdy se musel pustit do přípravy na nepříjemně rychle se blížící zkoušku. Otevřel skripta a otráveně četl: „Dokažte, že pokud jsou M, M+2 a M+4 prvočísla, je i M+8 prvočíslo.“

Pomozte Montymu vymyslet důkaz.

Když Monty skončil, všichni kluci už blaženě oddechovali a hodinky ukazovaly půl druhé ráno.

Sobotní ráno jako kdyby o pátečním dešti nic nevědělo. I Monty ztratil svou ponurou náladu. Kluci sbalili všechny důležité předměty včetně prastaré knihy a vzali je s sebou pro případ, že by pana Cukříka napadlo oplatit jim návštěvu. Během několika minut dorazili na hrad. Kastelán s úsměvem vítal brigádníky, pobafávaje ze své fajfky. „Na řadě je chodba, potřebuji ji vydlaždičkovat,“ ukázal prstem na paletu černých a bílých dlaždic.

Úloha č. 5

Chodba je dlouhá 40 m. Na začátku má šířku 2 m a po každých 40 cm se na každé straně rozšiřuje o 5 cm. Dlaždice mají rozměry 40 \times 40 cm. Pokud by část dlaždice přesahovala přes okraj chodby, je odříznuta a odložena na kolečko (tato odříznutá část dlaždice už nesmí být použita jinde).

Kolik nejméně dlaždic by bylo potřeba na vydláždění celé chodby? Kolik procent celkové plochy všech použitých dlaždic tvoří odříznuté části?

Petr se od kluků odpojil a šel do města naproti Magdalence, ale i tak byli hotovi před druhou hodinou a pan Málek je k sobě pozval na oběd. Šli zkratkou přes Málkovu dílnu, která byla pečlivě uklizena, jako by se tu nikdy nepracovalo.

Úloha č. 6

Jen čelisti svěráku svíraly tyč. Ta měla kruhový průřez, takže ať byla ve svěráku umístěna jakkoli, stále se dotýkala čelistí svěráku a vzdálenost čelistí se při otáčení neměnila. Oliver si toho všiml, ale ovládl se a otázku, která ho okamžitě napadla, nevyslovil.

Našli byste jiný než kruhový průřez tyče se stejnou vlastností? Uvažujte pouze plné tyče (tj. průřez neobsahuje žádné díry).

Zatímco kluci debužírovali, mlaskali a několikrát si přidávali a hlasitě pochvalovali paní Málkové švestkovou omáčku, kterou většina z nich jedla poprvé v životě, Petr se pomalu vracel se sestrou z nádraží.

„Vyrobila jsem ti dárek,“ vzpomněla si Magda a vytáhla z batohu pravidelný čtyřstěn z tvrdého papíru.

„Dík,“ řekl Petr a žasl, že i přes věčné zápolení s geometrií byla sestra schopna vytvořit síť tohoto tělesa. Pečlivě si ho prohlížel.

Úloha č. 7

Myšlenky mu tak úplně odběhly od cesty i od Magdalenky. Uvažoval, že pokud spojí středy hran pravidelného čtyřstěnu, dostane opět pravidelné platónské těleso. Jaký je poměr objemů čtyřstěnu a nově vzniklého tělesa?

Petrovo zasnění trvalo jen chvilku, ale přesto se oběma sourozencům podařilo zabloudit. Petr se snažil, aby Magdalenka nepoznala, že neví, kudy se dostane k Lindenburgu, nechtěl ji vystrašit, a tak jí raději vyprávěl, co všechno se klukům v Lindenburgu přihodilo.

Mezitím na oběd k Málkovým dorazil nikým nezván upocený pan Cukřík. Zvonil. Soptil. A znovu zvonil. Bylo mu otevřeno. Počínal chrlit. Ačkoli se ho kastelán snažil držet v předsíni, výbuchy vzteku otřásaly sklem až v kuchyni a lavina stížností zněla ozvěnou celým domem. Paní Málková jen pohoršeně kroutila hlavou. Mrkla na kluky:

„Tak co jste mu zase vyvedli? Však on to s ním Kamil nějak srovná...“ a pustila kluky ven opět přes garáž.

„Když já vám povídám, že je nebe na zemi...,“ zanotoval Gill.

„Tiše,“ sykl Monty.