Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.


Úloha č. 1

První, co lze říci je, že libovolná konstantní posloupnost (tj. d=0) na libovolné borůvce vyhovuje zadání. Jiná aritmetická posloupnost ale neexistuje.

Kdyby existovala, tak by muselo existovat nějaké d \geq 1. Jak je ale v zadání řečeno, vzdálenosti borůvek se stále zvětšují o jednu. Proto určitě někde (dost daleko) bude existovat brusinkový úsek délky d, a proto aritmetická posloupnost s diferencí d nemůže existovat. A tuto úvahu můžeme zopakovat pro všechna d, proto aritmetická posloupnost jiná než konstantní neexistuje.

Kdybychom, ale měli hledat aritmetickou posloupnost na brusinkách (místo na borůvkách), tak ta existuje, a je to tato: 2, 5, 8, 11, ... Můžete si rozmyslet, proč žádná borůvka nemůže mít číslo dávající po dělení třemi zbytek dvě.

Komentář: Ti z vás, kteří odvodili vzoreček pro číslo n-té borůvky, dostali dva body. Ti, kteří došli k tomu, že borůvky netvoří aritmetickou posloupnost, ale nezabývali se případem, kdy některé borůvky vynechají, dostali tři body.

Kdybychom, ale měli hledat aritmetickou posloupnost na brusinkách (místo na borůvkách), tak ta existuje, a je to tato: 2, 5, 8, 11, ... Není těžké si rozmyslet, proč žádná borůvka nemůže mít číslo dávající po dělení třemi zbytek dvě. Číslo n-té borůvky je n(n+1)\over 2. Číslo n může po dělení třemi dávat zbytek 0, 1, či 2. Pro první případ dostaneme, že borůvka má číslo, které je dělitelné třemi, pro další případ dostaneme, že borůvka má číslo dělitelné třemi se zbytkem jedna a v posledním případě má borůvka číslo opět dělitelné třemi.

Úloha č. 2

Mnich lže buď při odpovědi na první a pátou otázku, nebo lže při odpovědi na druhou, nebo na třetí, nebo na čtvrtou otázku.

Nejprve se třikrát zeptáme na stejnou určitou vlastnost a potom teprve na zbylé dvě:

  • „Je pes malý?“
  • „Je pes malý?“
  • „Je pes malý?“
  • „Je pes chundelatý?“
  • „Je pes bílý?“

Na základě prvních tří odpovědí zjistíme, u kterých odpovědí nám mnich lhal. Pokud lhal v první a v páté odpovědi, bude první odpověď různá od druhé a od třetí. Pokud lhal v druhé odpovědi, bude se lišit druhá odpověď od první a třetí. Pokud lhal ve třetí odpovědi, bude se lišit třetí odpověď od první a druhé. Pokud lhal ve čtvrté odpovědi, budou odpovědi na první tři otázky shodné.

Vidíme, že dokážeme jednoznačně identifikovat otázky, při kterých mnich lhal. Určit vlastnosti psa je potom již snadné.

Úlohu bylo možné řešit více způsoby. Když si označíme vlastnosti psa A, B, C, můžeme otázky formulovat například podle následujícího schématu:

  • A, A, A, B, C,
  • A, B, B, B, C,
  • A, B, C, C, C,
  • A, A, B, C, C.

Chybou by bylo ptát se na určitou vlastnost v první a v páté otázce.

Komentář: Za správné položení otázek jsem dával tři body a za správné odůvodnění dva body. Pokud měl někdo špatně položené otázky, neobdržel žádný bod, protože tím pádem nemohl mít ani správné odůvodnění. Za drobné chyby ve vysvětlení jsem strhával bod. Originální řešení poslal Dominik Steinhauser:

  • „Je pes malý?“
  • „Je pes chundelatý?“
  • „Je pes bílý?“
  • „Odpovídal jsi na první dvě otázky správně a na třetí nesprávně?“
  • „Je pes bílý?“

Zkuste si rozmyslet, že toto řešení funguje.

Úloha č. 3

Mohli bychom prohlásit, že bystré oko čtenáře prohlédne a uzří, že budou stačit jen dva popsané útvary, ale za to bychom se hodnotili maximálně jedním bodem. Ani popis, že stačí vzít dva útvary ABCDEF, A'B'C'D'E'F' a položit je na sebe například tak, aby A=C', B=D', C=A', D=B' není o moc lepší. Stále to neukazuje, že těleso EFE'F' je čtyřstěn. Naskýtá se totiž otázka: „Co když body E, A=C', F' neleží na přímce?“

Ukážeme dva způsoby jak úlohu řešit tak, aby byl opravující spokojen.

Metoda první spočívá v obráceném postupu. Vezmeme si celý čtyřstěn a ukážeme, že ho lze rozříznout na dva útvary, které jsou shodné se zadanými útvary.

Když se podíváme na obrázek, uvidíme řez pravidelného čtyřstěnu rovinou ABCD. Bod A je střed hrany EF', bod B je střed FF', C je střed E'F a konečně bod D je střed EE'. Vzniklá tělesa jsou shodná se zadaným tělesem, pokud mají shodné pláště.

Trojúhelníkové stěny ABF', DE'C, FBC, EAD jsou opravdu rovnostranné. Lichoběžníky mají požadovaný poměr délek stran (to lze snadno nahlédnout např. pohledem na střední příčku v rovnostranném trojúhelníku). Jen čtyřúhelníkem ABCD si nemůžeme být jisti. Je to skutečně čtverec? Strany jsou stejně dlouhé, dokonce jsou protější strany rovnoběžné, ale to stále ještě splňuje i kosočtverec. Rovnoramenné trojúhelníky FAE' a FF'D jsou shodné z věty sss, jsou tedy shodné i jejich výšky AC a BD, čímž jsme dokázali, že čtyřúhelník ABCD má shodné úhlopříčky, tudíž je to čtverec. Vzniklá tělesa jsou shodná se zadaným tělesem.

Metoda druhá je založena na rozdělení daného útvaru na útvary dílčí, které poskládáme do čtyřstěnu.

Označme G střed úsečky EF, potom ADEG a BCFG jsou pravidelné čtyřstěny a ABCDG je jehlan, který je „polovinou“ pravidelného osmistěnu. Vzorové řešení sedmé úlohy předešlé série mimo jiné říká, že pravidelný čtyřstěn lze rozdělit na čtyři pravidelné čtyřstěny s poloviční délkou hrany a jeden pravidelný osmistěn rovněž s poloviční délkou hrany. Tím je vlastně úloha vyřešena, protože nyní stačí zopakovat postup, který byl v prvním odstavci, a nikdo nás již nemůže osočovat, že vzniklé těleso není pravidelný čtyřstěn.

Možná se může zdát, že druhý postup je výrazně snazší, ale bez zmíněného vzorového řešení není úplný.

Ke složení pravidelného čtyřstěnu tedy stačí opravdu jen dva dané předměty.

Komentář: Úlohy tohoto typu možná hendikepují řešitele se slabší prostorovou představivostí. Pokud si tělesa vyrobíte z papíru, pak se naopak úloha zdá velmi jednoduchá. Ale chyba lávky! Nestačí vysvětlení, že stačí dva dané předměty. Musíte vysvětlit, proč tomu tak je. Velmi pěkně tak učinili Mirek Koblížek a Tomáš Kubelka.

Úloha č. 4

Pro přehlednost si označme políčka čtverce písmeny ai.

Známe součiny čísel v řádcích a sloupcích, bude se nám hodit znát dělitele zadaných součinů. Provedeme tedy rozklad daných čísel na prvočísla:

  • a \cdot b \cdot c = 12 = 2^{2} \cdot 3,
  • d \cdot e \cdot f = 240 = 2^{4} \cdot 3 \cdot 5,
  • g \cdot h \cdot i = 126 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 7,
  • a \cdot d \cdot g = 126 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 7,
  • b \cdot e \cdot h = 64 = 2^{6},
  • c \cdot f \cdot i = 45 = 3^{2} \cdot 5.

Je-li na nějakém políčku čtverce určité číslo, pak je nutně dělitelem součinu celého řádku, ve kterém se nachází, a současně je dělitelem součinu celého sloupce, ve kterém leží.

Z rozkladů na prvočísla vidíme, že číslo 7 z nabízených součinů je dělitelem pouze čísla 126. Proto 7 nemůže být nikde jinde než na průsečíku třetího řádku a prvního sloupce, proto g = 7. Podobně 5 dělí pouze 240 a 45, pětka proto nemůže být jinde, než kde se setkává druhý řádek a třetí sloupec, čili f = 5. Dále 8 = 2^{3}, proto hledáme řádek a sloupec obsahující dvojku alespoň ve třetí mocnině. Pouze čísla 240 a 64 obsahují ve svém rozkladu 2^{3}, proto e = 8.

Nyní najdeme vhodné políčko pro umístění jedničky. Jistě musí být v prvním řádku, protože 12 = 2\cdot2\cdot3, a přitom dvojku můžeme použít v celém čtverci jen jednou. Z podobných důvodů musí být jednička ve třetím sloupci, tedy c = 1.

Teď známe dvě čísla ze třetího sloupce (c a f), a proto i jejich součin (c \cdot f = 5). A přitom známe také součin celého sloupce (c \cdot f \cdot i = 45). Díky tomu snadno dopočítáme hodnotu třetího čísla ve sloupci, tedy i = 9. Podobně postupujeme dál. Známe dvě čísla ve druhém řádku, tak dopočítáme třetí d = {d \cdot e \cdot f \over e \cdot f} = {240 \over 40} = 6. Pokračujeme například třetím řádkem, kde již také známe dvě hodnoty, tedy h ={ g \cdot h \cdot i \over g \cdot i} = {126 \over 63} = 2. Dále v prvním sloupci dopočítáme hodnotu a = {a \cdot d \cdot g \over d \cdot g} = {126 \over 42} = 3. A nakonec b = {b \cdot e \cdot h \over e \cdot h} = {64 \over 16} = 4.

Nyní již známe hodnoty všech políček čtverce. Zkontrolujeme si, že se nám ve čtverci žádné číslo neopakuje.

Komentář: Úlohu jste mohli řešit více způsoby, také založenými na rozložení součinů na prvočísla, případně dělitele, a následném postupném doplňování čísel do tabulky.

Ve všech došlých řešeních byl čtverec vyplněn správně, ale pět bodů dostali jen ti z vás, kteří popsali přesvědčivě celý postup. Pokud jste nějaké kroky nezdůvodnili dostatečně, strhla jsem vám nějaké body. Za správně vyplněnou tabulku, ale bez komentáře, jsem dávala body jen dva.

Úloha č. 5

Máme dán trojúhelník ABC, kde těžnice na stranu BC je totožná s výškou na stranu BC. Tudíž těžnice je kolmá na tuto stranu a trojúhelník ABC je rovnoramenný. (Podrobněji: Z kolmosti těžnice plyne shodnost trojúhelníků AS_{a}B a AS_{a}C.) Konstrukce trojúhelníku pak můžeme provést dle věty sss , neboť známe délku ramen 4 cm i délku základny 6,5 cm={13\over2} cm.

Pokud bychom si neuvědomili rovnoramennost trojúhelníku ABC, mohli bychom použít konstrukci popsanou v následujícím zápisu:

  • BC; |BC|=6,5 cm,
  • S_{a}; S_{a} je střed úsečky BC,
  • k; k(B; 4 cm),
  • p; p \perp \leftrightarrow BC, S_{a} \in p,
  • A; A \in k \cap p,
  • trojúhelník ABC.

Protože trojúhelník je tupoúhlý, výšky se protnou v bodě O (takzvané ortocentrum), který leží vně trojúhelníku. (Tady byl kámen úrazu pro mnohé z vás: Je nutné považovat v této souvislosti strany trojúhelníku a jeho výšky za přímky) Označme body tak, jak je to uděláno na obrázku.

Úhly S_{a}AB a S_{a}AC jsou díky rovnoramennosti trojúhelníku ABC shodné. Stejně tak úhly S_{a}AC a OAQ jsou shodné, neboť jsou vrcholové. Proto jsou trojúhelníky AS_{a}B a AQO podobné.

Dále bylo možné postupovat několika postupy, zvolme jeden z nich:

Velikost úsečky AS_{a} spočítáme z pravoúhlého trojúhelníku AS_{a}B pomocí Pythagorovy věty:

\eqalign{ |AS_{a}|&=\sqrt{|AB|^{2}-|BS_{a}|^{2}}, \cr |AS_{a}|&=\sqrt{16-169\over16}=\sqrt{87\over16} cm. \cr}

Trojúhelníky BAS_{a} a OBS_{a} jsou podobné podle věty uu , proto platí

\eqalign{ |AS_{a}|\over |BS_{a}| &= {|BS_{a}|\over|OS_{a}|}, \cr |OA|+|AS_{a}|=|OS_{a}| &= {|BS_{a}|^{2}\over|AS_{a}|}, \cr |OA| &= {|BS_{a}|^{2}\over|AS_{a}|} - |AS_{a}| = {|BS_{a}|^{2}-|AS_{a}|^{2} \over |AS_{a}|}. \cr}

Tudíž dostáváme poměr

\eqalign{ |OA|:|AS_{a}| &= {|BS_{a}|^{2}-|AS_{a}|^{2} \over |AS_{a}|} : |AS_{a}|= \left({|BS_{a}|^{2}-|AS_{a}|^{2}}\right) : |AS_{a}|^{2}, \cr |OA|:|AS_{a}| &= \left(\left({13\over4}\right)^{2}-{87\over16}\right) : {87\over16} = {82\over16} : {87\over16}= 82:87. \cr}

Hledaný poměr je tedy 82:87.

Komentář: Za narýsování trojúhelníku jsem dával jeden bod (tentokrát jsem nestrhnul body za chybějící popis konstrukce). Za správný postup, kterým jste určili hledaný poměr, tak byly až čtyři body. V mnoha případech jste použili k řešení goniometrické funkce a to vedlo k obrovským zaokrouhlovacím chybám -- až 10\%. Za to jsem body nestrhával...

Úloha č. 6

Pustíme-li se do úlohy na základě jednoduchých úvah, rozvrhneme si situaci asi takto. Mezi všemi těmi kvádry můžeme vyčlenit skupinu krychlí, skupinu kvádrů se čtvercovou podstavou a skupinu kvádrů v každém rozměru jiných.

Máme-li k disposici rozměry od 1 do 10, je jasné, že krychlí bude 10.

Kvádry se čtvercovou podstavou mají dvě hrany stejně dlouhé a třetí odlišnou. Rozměrů čtvercové podstavy může být deset. Ke každé z nich můžu doplnit jednu z devíti výšek (abych nezískal opět krychli). Z toho jasně plyne, že takových kvádrů bude 10 \cdot 9 = 90.

Podobným postupem si spočítáme kvádry s třemi různými délkami hran: 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720. Zde si ale musíme uvědomit, do čeho se řítíme. V takto sestaveném výpočtu se nám totiž každý kvádr objeví šestkrát, pohleďme: 1 \times 2 \times 3, 1 \times 3 \times 2, 2 \times 1 \times 3, 2 \times 3 \times 1, 3 \times 1 \times 2, 3 \times 2 \times 1. Jasně tedy vidíme, že počet kvádrů musíme ještě vydělit šesti.

Celkově tedy: {10 + 10 \cdot 9 + 10 \cdot 9 \cdot 8 \over 6 }= 220. Různých kvádrů s rozměry od 1 do 10 cm můžeme vytvořit 220, z toho bude 10 krychlí.

Komentář: Jako u správné kombinatorické úlohy i zde bylo mnoho různých cest k řešení. Jedni z vás se zanořili do knih a sešitů a vytasili se s kombinacemi s opakováním. Ano, cesta vzorečků vám je otevřená, ale v Pikomatu jsme vždycky raději, jste-li si schopni vzorce odvodit a celé věci porozumíte, než když je opíšete z knih. Další z vás způsobili mé upřímné zděšení, když byli ochotní vypisovat si stovky kombinací a jejich houštinami se vlastnoručně probírat! Tak takto prosím hrdý matematik nepostupuje. Nicméně své body si za to zasloužíte.

Za srozumitelný postup a správný výsledek jste si tedy vysloužili pět bodů. Když vám některé kvádříky utekly a jiné jste započítali dvakrát, dostali jste mezi dvěma a třemi body. Pokud jste trefili alespoň počet krychlí, byl z toho jeden bod. A jestliže jste mi tvrdili, že krychle nemá s kvádrem pranic společného, neobdrželi jste po právu vůbec nic.

Úloha č. 7

K jednoduchému vyřešení problému stačí do zadaného rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku PES dokreslit jedinou přímku. Tato stěžejní přímka prochází bodem X a je kolmá na osu úhlu EPS. Průsečík této přímky se stranou PE označme Y.

Z obrázku je patrné, že trojúhelníky SPX a YPX jsou shodné (mají společnou stranu PX a všechny vnitřní úhly shodné). Proto |SX|=|YX| a |SP|=|YP|. Dále si všimněme, že trojúhelník EYX je rovnoramenný, a tudíž jsou shodné i úsečky YX a EY, neboli |SX|=|EY|. Platí tudíž |PE|=|PY|+|EY|=|PY|+|SX|=|PS|+|SX|, a to jsme chtěli vědět.

Komentář: V řešeních mi vadily tři věci. Předně to, když jste trojúhelník narýsovali, změřili jeho strany a udělali nějaký závěr. Konstrukcí nemůžete zdůvodňovat rovnost nebo nerovnost délek stran. Vaše pravítko má nejmenší jednotku jeden milimetr, takže neměříte dostatečně přesně, nemůžete vědět, zda se délky úseček nerozcházejí v desetitisícinách milimetru, to je potřeba spočítat. Ale pro ověření počátečního nápadu je konstrukce samozřejmě dobrá, víte pak, že jdete správnou cestou...

Další nůž do zad bylo zaokrouhlování. Nikdy jsem neměla ráda desetinná čísla v řešeních, kam nepatří. Hodnoty \sqrt{2} a 1,414 nejsou stejné. Když si můžete mezi nimi vybrat, volte odmocninu. Většinou pak dostanete dva shodné výrazy a ne dvě čísla, která možná jsou stejná a možná také ne. A ta třetí bota, co mnozí z vás udělali, se zaokrouhlováním souvisí. Používat goniometrické funkce je hezké, ale jen do té doby, než dosadíte úhel 22,5\deg například do sinu. V tabulkách, na počítači i na kalkulačce vždycky dostanete zaokrouhlenou a tedy nepřesnou hodnotu. Závěr pak je, že |PE| se přibližně rovná |PS|+|SX|, ale to si můžu tipnout i z grafického „řešení“ a nemusím nic počítat. Je potřeba mít jistotu. Pro příště prosím užijte raději podobnost.

Opravovali: 1. Eva Černohorská, 2. Peter Černo, 3. Ondřej Honzl, 4. Katka Böhmová, 5. Karel Pazourek, 6. Pavel Houdek, 7. Lenka Blažková.