Zadání 5. série 20. ročníku

Termín odeslání: 9. května 2005

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


Když jsme se trochu probrali a někteří konečně přemohli svůj záchvat vzteku, posnídali jsme. Byl čas naplánovat naše tajné poslání. Cen koukl do listin, které posel donesl, a začal: „Tady píšou,“ zahleděl se na zažloutlý, avšak téměř prázdný ovčí pergamen, „že žluté srdce najdeme někde... No, píšou tady: Žluté srdce leží ukryto v srdci Velké Č. Víte někdo, kde to je?“

Své špatné znalosti dal najevo prozkoumáním našich, ovšem stejně tápajících, tváří.

„Koukni se, jestli tam není nějaká mapa,“ radil zpoza ohně Vigi.

Cen se beznadějně ponořil do kupy zapáchající ovcemi. Chvilku jsme ho pozorovali, jak se topí, ale nakonec vítězně vytáhl ruku. V ruce držel snad nejumaštěnější pergamen, na kterém jsme následně mohli spatřit nesmělé tahy nějakého kartografa, mizící v díře uprostřed. Nu, a jak už to tak bývá, samozřejmě srdce Velké Č. nikde. Usoudili jsme, že bude na části, která nám chybí, ale jisti jsme si nebyli. Cen se proto raději ponořil opět mezi ovce, zda nenajde nějaké vysvětlení. Našel.

„Stojí tu: Žluté srdce Velké Č. je zakopáno na Kopci. To asi bude nějaký bezejmenný, když mu říkají Kopec,“ naznačil Cen a četl dál. „Ten z tajných důvodů na mapě nenajdete, ale můžete zjistit jeho přibližnou polohu.“

Cenovi se rozzářily oči a pokračoval:

Úloha č. 1

„Díra má tvar trojúhelníku.“ Cen naměřil hned jeho rozměry: „2, 3 a 3 palce,“ hlásil nám do výkladu. „Spojte středy jeho stran mezi sebou a dostanete nový trojúhelník. V něm spojte středy jeho stran mezi sebou a dostanete již třetí trojúhelník. Obvod pátého trojúhelníku udává vzdálenost srdce Velké Č. od značky Q40 na mapě.“ Jaký je tedy obvod pátého trojúhelníku takto vzniklého?

Cen se poškrábal na hlavě a koukl do mapy. Krom klasických obrázků, co se do map kreslí, tam byla ještě čísla, spousta drobných čísel, která se táhla od kraje ke kraji a šla sotva přečíst, u každého navíc bylo písmeno Q.

„No, to máme co dělat,“ poznamenal nepřítomně, „obejít ta čísla všechna by nám zabralo,“ poškrábal se ještě jednou na hlavě, „přinejmenším několik set let. A kdybychom se rozdělili, tak naši potomci to možná už stihnou.“

To jsme nebyli ochotni riskovat. Naštěstí tajné místo nebylo tak těžké najít. Pár minut sezení s Otahem, koukajícím mi přes rameno, a pozice byla jasná. Je to Q23.

Vyrazili jsme.

První vážnější překážkou na naší cestě byla..., vlastně, co vám budu povídat, první opravdu těžkou překážkou byla zeď. Již jednou jsme se přes ni úspěšně dostali, ale to jsme neměli, proboha, stádo koní...
Ona totiž Velká zeď je opravdu velká. Obejít ji nepřicházelo v úvahu, neboť krom toho, že je velká, je také hodně dlouhá -- museli jsme ji buď probořit a doufat, že si toho nikdo nevšimne, nebo projít nějakou ze střežených bran. A jak již při našem útěku Otah poznamenal: „Jestli něco z lidských výdobytků dožije konce světa, tak to bude Velká zeď.“ Naše příští kroky byly jasné. Museli jsme projet branou, a to chtělo plán.

Cenovo pátrání mezi ovcemi se zdálo nekonečné, ovce asi nevěděly, jak se přes zeď dostat. Nu což, budeme se tvářit jako koňští handlíři, napadlo mě. Návrh se nesetkal s velkým ohlasem, nicméně nikdo jiný nic nenavrhl a tváře mých společníků prozrazovaly beznaděj. Zřejmě jsem nás poslal všechny na smrt, jestli nás strážní prohlédnou, budeme cválat tam, odkud jsme přišli. Zbývalo dořešit provedení.

Náš plán byl tak nebezpečný, že Lutze s Vigim raději konstruovali magický čtverec.

Úloha č. 2

Magický čtverec se skládá z devíti menších čtverců, do nichž jsou vepsána čísla. To by samo o sobě nebylo nic magického. V magickém čtverci však platí, že součin čísel na každém řádku, v každém sloupci i na každé uhlopříčce je 216, všechna čísla ve čtverci jsou navzájem různá a součet čísel v prvním řádku je největší možný. Jak a jaká čísla jsou napsána do čtverce tak, aby byl magický?

Druhý den se před námi objevila Velká zeď, tyčila se nad průsmykem a vysmívala se naší troufalosti. Nad branou přecházeli čtyři muži se samostříly a zbylá větší část místní hlídky spala nebo odpočívala dole ve věži. Vyslali jsme Choua, aby domluvil se strážnými, zda můžeme projít a co nás to bude stát. Chou se chvíli odhodlával. Nakonec sesedl z koně a mířil k bráně. Nad hlavou mával bílým hadříkem.

Úloha č. 3

Co jsme o strážných věděli, bylo jen to, že se čas od času střídají. Během sedmi dnů se stráž u brány vystřídá čtyřikrát (každý den nejvýše jednou). Alespoň jednou v těchto sedmi dnech se však střídají dva dny po sobě. Kolik sedmidenních cyklů (ve Velké Č. tomu říkají týdny, ale to je nesmysl, týden má přece šest dní) může proběhnout, aniž by se v některém z těchto cyklů střídali ve stejných dnech jako v jiném?

Co Chou strážným říkal, jsem neslyšel, ale nevrátil se zrovna veselý.

„Strážný říká, že je nás moc a že se musíme rozdělit. První půlka vezme polovinu koní a může projít. Druhá tu počká dvě hodiny a pak může vyrazit za první. Ta se nesmí nikde zastavovat. Jinak druhá zůstane za branou,“ informoval nás Chou.

„Nebo skončí někomu na talíři,“ překládal Chouovu výpověď Otah s křivým úsměvem na rtech.

„Také jim máme zaplatit dvaceti koňmi za průchod. Nabídli ale, že když jim vyřeším jednu úlohu, tak nás pustí bez poplatku.“

Úloha č. 4

„V písku je nakreslený kruh. Když ho strážný kreslil, měl dva klacíky svázané pětipalcovým provázkem. Jeden měl ve středu a druhým kreslil kolo. Přitom měl provázek napnutý. Prý mu máme dokreslit do kruhu trojúhelník tak, aby jeho rohy byly na čáře tvořící kolo a dvě jeho strany byly stejně dlouhé. Navíc když se spojí střed jedné z těchto čar a protější roh trojúhelníku, tak tahle čára s tou, se kterou má společný ten střed, jsou jako tady ten roh.“

„Svírají pravý úhel,“ neudržel jsem se a vnesl trochu terminologie do jeho výkladu.

Umíte trojúhelník narýsovat? Nebo, jak by řekl strážný, dokreslit?

Vrhl jsem se do příkladu a za chvíli jsem už strážného instruoval, jak na to. Jeho výraz se mi ale moc nelíbil, když jsem mu vysvětloval, jak jsem trojúhelník kreslil, a taky Otah se držel zpátky a nelibě na mě civěl. Strážný, jakoby ani neposlouchal, si mě vyslechl a křivě se na nás díval. S úsměvem pak prohlásil, že můžeme jít.

Vrátili jsme se ke koním. Otah sice brumlal, že jsme mu raději měli dát ty koně, ale já ho moc neposlouchal. Rozdělili jsme se.

První skupina, která má tu čest a jistotu, že se za bránu dostane, musí vypátrat žluté srdce; druhá ji bude krýt a v případě nouze zmizí opět v poušti. Tak zněl plán. První skupinu tedy tvořili Otah, Vigi, Cen, Lutze a já. Druhou pak Chou a ženy.

Vyrazili jsme. Při průjezdu branou se na nás strážný jen nevrle díval, zato my jsme obdivovali ten monument tyčící se nad námi.

Projeli jsme a dál se drželi cesty. Nechtěli jsme sobě ani druhé půlce působit potíže. Uplynula však sotva hodina, když se před námi a vlevo od nás na obzoru zvedl prach. Znejistěli jsme. Myšlenky se mi rozběhly jako splašený kůň.

„Jdou po nás,“ vykřikl Vigi a začal prchat na západ.

O ničem jsem nepřemýšlel a vyrazil za ním. Stádo jsem hnal před sebou, jak nejrychleji jsem uměl, ale nebylo to moc platné. O pár chvil později začaly kolem našich uší svištět šípy. Museli jsme stádo zmenšit. Nějaké koně tu nechat. Pochopili to všichni a začali koně od sebe rozhánět. Nic v životě jsem nedělal tak nerad a se slzou v oku, ale nebylo zbytí.

Úloha č. 5

Když jsme takto s Cenem koně rozháněli, měli jsme před sebou každý menší stádo koní. Dohromady jich bylo 51. Chvíli jsme se s Cenem na něčem domlouvali a mezi tím přeběhli dva koně od něj ke mně. Než jsme však domluvili, přeběhlo z jeho stáda do mého ještě dvakrát tolik koní než poprvé. Teď jsem měl před sebou dvakrát víc koní než Cen. Jak velká stáda jsme měli bezprostředně před začátkem našeho hovoru?

Se zbylými koňmi se nám podařilo pláchnout. Vigimu sice prostřelili rameno, Otahovi zastřelili koně, a tak měl pěkně potlučená záda, ale upláchli jsme. Několik hodin jsme ještě uháněli k západu a přemýšleli o tom, co se to vlastně stalo. Na večer jsme obrátili k jihu.

Když už padla černočerná noc, rozbili jsme tábor. Nikomu se ale spát nechtělo a jídla, které jsem uvařil, se sotva dotkli. Všichni mysleli na dnešní katastrofu. Jak asi dopadli naši koně? Zítra zřejmě padnou žízní někde v poušti, napadalo mě stále znovu. Podařilo se Chouovi utéct? Snad ano. Nevědomost nás pálila více než poušť, kterou jsme nechali konečně za ocasem svých koní. Museli jsme ale dál, už brzy ráno.

Nakonec jsem se přece jen trochu vyspal, což se o ostatních říci nedalo. Otah bloumal celou noc po táboře a civěl do tmy. Vigi se zřejmě bolestí celou noc probouzel a Lutze asi nemohl dospat. Alespoň jsme s Cenem měli po ránu teplý čaj s jačím tukem.

Cen při upíjení zíral do map: „Nu, podle toho, jak jsme včera uháněli, a podle toho, kde bylo slunce, bych řekl, že teď jsme někde u bodu Q67. Srdce je na Q23, takže asi 100 mil. Když pojedeme alespoň trochu nenápadně, podél značek Q...,“ zamyslel se...

Úloha č. 6

„Je zvláštní, že čísla těch značek jsou všechna dělitelná sedmi. Značky jsou čtyři. Rozdíl součtu větších dvou a součtu menších dvou je roven největšímu z nich. Navíc rozdíl součtu nejmenšího a největšího z nich a součtu zbylých dvou je 7.“

Jaká byla ta čtyři čísla, pokud byla všechna kladná a menší než 100? Kolik takových čtveřic by existovalo, pokud by byla všechna menší než 500?

Cen si neodpustil vnést úlohou do naší nálady trochu rozruch, stejně jsme to potřebovali.

„Tak podél těchhle značek nám to bude trvat alespoň..., no jsou to dobré dva dny.“

Měl pravdu, nebyl čas zabývat se tím, co bylo. Teď jsme mohli jen doufat, že naši koně a možná i přátelé nepadli zbytečně. Museli jsme úkol splnit za každou cenu.

Ráno bylo veselejší nejen díky teplému čaji, ale i konec pouště ve mě budil pocit naděje. To se ovšem nedalo říci o Otahovi; toho jakoby něco užíralo. Kolem nás se objevil les, ale Otah se ani neusmál, přestože Lutze se nemohl dopočítat všeho ptactva, které jsme viděli. Lesem se sice cestovalo obtížněji, ale nebyl příliš hustý a poskytoval nám ochranu před sluncem i zraky nežádoucích pozorovatelů. Večer jsme zajeli do údolí, kde tekla neveliká řeka. Koupel udělala všem dobře, nejvíce koním.

Cen večer zhodnotil náš postup: „Urazili jsme dnes 80 mil. Zítra v poledne je srdce naše.“

Vigi se jen zašklebil: „Tak jednoduché to zas nebude, určitě to tam hlídají. Přece takovou věc jen nezakopou do země?“

Cen mezitím vypátral mezi pergameny jeden, který o tom hovořil. „Žluté srdce je zakopáno pod zemí a ukryto ve schránce z nejlepšího červeného dubu. Ta je však zamčena zvláštním zámkem.“

Úloha č. 7

„Do kruhu, který je na schránce vyryt, se mají postupně vyskládat všechny pětiúhelníky složené ze dvou kosočtverců a jednoho pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku s odvěsnami dlouhými dva palce. Trojúhelník má navíc mít stejnou výšku jako kosočtverce.“

Kolik takových pětiúhelníků existuje? A jak velké kosočtverce budeme potřebovat pro vytvoření každého z nich?

„Nechme si o tom zdát. Zítra bude na plánování dost času,“ prohlásil jsem a debatu jsme odložili na zítřek. Třeba bude šťastnější než včerejšek.