Zadání 3. série 20. ročníku

Termín odeslání: 7. února 2005

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


Na tržiště jsme dorazili celí uřícení, ale naštěstí jsme dnes nemuseli řešit úlohy od strážného. Ten se na nás jen mimoděk usmál a dál si hrál s nějakým podivným předmětem. My jsme zatím zahájili svou obchodní činnost, která spočívala v nakupování tretek a prodávání našich znalostí. Je to zvláštní, ale naše rady padaly na úrodnou půdu. Na nejzajímavější úlohu jsme narazili u jednoho obchodníka.

Úloha č. 1

Ten na své tabuli zapisoval aktuální kurs ceny rýže, píce, lihovin, zeleniny a ovoce a ještě sena ve zlomcích pod sebe, ihned mě napadlo, že takto zapsaný zlomek může mít několik různých hodnot. Dokázali byste prodloužit a zkrátit zlomkové čáry tak, aby hodnota celého zlomku byla co největší? Jak by zlomek vypadal pro co nejmenší celkovou hodnotu?

64

15

21

4

18

49

Hned jsem si úlohu poznamenal pro Fena, ale také jsem vybídl obchodníka, zda by úlohu uměl vyřešit. Očividně jsem ho potěšil, že jsem mu zadal takovou jednoduchou úlohu. Jenom se zasmál a pravil: „Takovouhle úlohu u nás umí vyřešit i malé dítě. Vždyť tady, na tržišti, musí takovéhle kupecké počty zvládat každý. Co kdybys ale zkusil něco jiného,“ nebezpečně se na mě usmál.

Úloha č. 2

„Máme vybudovat na našem trojúhelníkovém náměstí studnu. Náměstí má všechny strany stejně dlouhé a studna má být spojena s každou stranou náměstí. Oni mi nechtějí ale věřit, že je jedno, kde ji postavíme, protože délka potrubí, které budeme muset postavit, bude vždy stejná, jako je délka nejkratší spojnice z jednoho rohu náměstí s protější stranou. Mám pravdu?“

V sázce byla moje čest, a tak jsem zapojil všechny síly. Obchodník byl spokojen a mně se velmi ulevilo, když jsem mu odpověděl.

Obchody se hýbaly dál a my stále sháněli co nejvíce koní. Zřejmě nejdražším naším sortimentem byla mapa s mongolskými městy. Za dobu svého putování jsme si totiž velmi dali záležet na tom, abychom do ní zakreslili pouze bezpečné cesty. Když jsme mapu chtěli prodat jednomu z našich zákazníků, nabídl nám třicet koní, když mu poradíme, jak projet všechna města co nejrychleji.

Úloha č. 3

Vytvořili jsme tedy mapu podle našich záznamů, kam jsme vepsali počet dní, který jsme na dané cestě strávili. Dokážete říci, jak máme města procházet, pokud je všechna chceme projít v co nejkratším čase? Cesta začíná v Chojbalsanu a může skončit v libovolném městě.

Obchodník se opravdu divil, že tohle řešení je nejlepší, a ještě nějakou dobu nám pokládal dotěrné otázky, než opravdu uvěřil, že rychlejší cesta neexistuje. Pak nás obdaroval třiceti koňmi. Lépe řečeno listinou, která převáděla tyto koně na nás. Je totiž známo, že koně na tržiště nesmí. Takto velkorysá odměna nás zaskočila, ale jak už jsem říkal, v Mongolsku není zvykem odmítat, tak jsme přijali a vrhli se do dalších obchodů.

Ještě před odpoledním čajem jsme narazili na obchodníčka, který si nevěděl rady s prodejem své látky. Látka byla nejlepší modré hedvábí, jaké jsem kdy viděl, jehož cena se nyní pohybovala kolem 2 koní za 10 loktů. Oči mi stále zůstávaly viset na té nádherné látce a ani jsem se pořádně nedokázal soustředit na to, o čem kupec mluvil.

Úloha č. 4

„... a tak jsem látku slíbil tomu, kdo mě dokáže porazit v téhle mojí hře třikrát za sebou. Tenhle muž mi však navrhl, že bychom si mohli zahrát 20 her a podle toho, kolikrát by mě porazil, bych mu dal patřičnou slevu. Návrh se mi líbil, protože hrát umím velmi dobře, nicméně nakonec mě ve 20 hrách porazil čtyřikrát. Jakou slevu by měl dostat?“ Jaká je pravděpodobnost, že kupec prohrál třikrát za sebou? Všechna pořadí 20 her považujeme za stejně pravděpodobná.

Nakonec hráč i obchodník byli spokojeni a my se začali zajímat o tu místní hru. Část z nás však nebyla tak zaujata a jali se shánět další koníky. My ostatní, zbylo nás tu pět, jsme poslouchali obchodníka, který nám vysvětloval pravidla. Hrála se s různými kamínky, vždy dva hráči proti sobě, a netrvalo dlouho, část naší skupiny se vrhla do hry.

Úloha č. 5

Já, Cen, Vigi, Chou a Lutze jsme si rozebrali bílé, červené, modré, zelené a žluté kameny. Turnaj dopadl následovně:

  • Vigi začal proti modrému.
  • Vyhrál Cen, který v poslední partii porazil bílého, jenž skončil potom druhý.
  • Na prostředním místě skončil žlutý.
  • Lutze byl hned za červeným.
  • A já jsem byl o místo před zeleným, který ale nebyl poslední.

Jak skončil modrý?

Jiný kupec -- jiný problém. Tentokrát šlo o hospodu, a jak tohle někteří z nás slyšeli, nehledě na odměnu pustili se do problému. Já jsem raději dopsal dopis Fenovi, abych ho, než opustíme tržiště, vnutil nějakému obchodníkovi, který bude mít cestu tím směrem. Úloha vypadala následovně.

Úloha č. 6

Vývěsní štít vypadal jako obdélník, k jehož delším stranám byly přilepeny dvě shodné kruhové úseče. Označíme-li obdélník ABCD a strany AB a CD budou ty delší, pak střed oblouku nad stranou AB leží na straně CD a naopak. Jestliže bod Q je střed oblouku DC, pak velikost úhlu ADQ je 45\deg. Délka strany AD je 12 cm. Nakreslete vývěsní štít.

Než jsme dořešili, vrátil se Vigi s nějakým divným pečivem, které vypadalo jako trojboký hranol. Vigi tvrdil, že je to místní chleba a že sehnal i trochu jačího tuku. Pustili jsme se do jídla. A jako by těch úloh nebylo za ten den dost, ještě při jídle jsem otevřel dopsaný dopis pro Fena a ještě tam jednu dopsal.

Úloha č. 7

Je dán chleba (pravidelný trojboký hranol) ABCA'B'C' a bod K ležící na jeho hraně CC', pro který platí |CK|=2|KC'|. Jaký obsah bude mít řez chleba nožem (rovinou), která prochází bodem K a obsahuje hranu AB? Chleba má rozměry |AB|=4 p, |AA'|=4,5 p, když p je značka pro palec.

Bylo po večeři a tržiště se opět začalo vyprazdňovat, i my jsme usoudili, že už je také čas si jít odpočinout od věčného počítání a také se připravit na zítřejší cestu. Měli jsme totiž dost koní, a tak nás čekalo setkání s Chánem.