Zadání 2. série 20. ročníku

Termín odeslání: 3. ledna 2005

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


Ono se řekne, přinést žluté srdce Velké Č., ale přál bych vám být na mém místě. Jen co člověk z pekla Velké Č. uprchl, už se má zase vracet. Nebylo cesty zpět, a tak jsem přijal. Nejprve naši skupinu čekalo shánění koní, bez nich bychom se do Velké Č. nikdy zřejmě nedostali.

Kůň je přítel, kůň je život.

Kůň je bouře, kůň je čas.

V našem utečeneckém táboře je sice mnoho koní, ovšem na mě zbyl po včerejším nočním dobrodružství pouze jeden pštros. Co naplat, bylo nutné koně za každou cenu sehnat. Ale od koho a hlavně za co? Rozhodli jsme se jako skupina, že začneme obchodovat se sousedními klany. Ale k tomu bylo třeba mít nějaké informace o okolí, o banditech a také jsme potřebovali sehnat nějakou mapu. Rozhodli jsme se ji vyměnit za mého pštrosa s místním obchodníkem.

Obchodník, když uviděl, za co mapu chceme, se nad námi slitoval a slíbil nám mapu, pokud mu pomůžeme vyřešit úkol, se kterým si nevěděl rady.

Úloha č. 1

„Přátelé, dostal jsem kostku sýra, ve které, jak už to bývá, byly díry, a chtěl jsem naučit svoji myšku chodit skrz sýr. To víte, je to pěkná atrakce a pomáhá to obchodu, ale moje myška není moc trpělivá, a tak pokud po dvaceti odbočeních neuvidí opět světlo, nikdy se to nenaučí. Chtěl jsem zjistit, zda se jí podaří prolézt skrz tento sýr, a tak jsem ho rozkrájel, ale nějak si s tím nevím rady. Můžete mi říci, zda se jí to povede?“ Na obrázcích jsou řezy sýrem, který má tvar krychle. Díry v bílém sýru jsou vyznačeny šedou barvou.

Hm, pěkná úloha pro Fena. Rychle jsem si načrtl, jak sýr vypadal, a s mapou jsme vesele vyrazili za dalším úkolem. Tím úkolem bylo vyhnout se banditům, kteří se na cestách vyskytují. Nejednou se nám stalo, že nás obrali do posledního pštrosa, kterého jsme měli. A tak bylo na čase vymyslet na bandity nějakou taktiku.

Úloha č. 2

Týden má v Mongolsku 6 dní, měsíc má 35 dní a rok 10 měsíců. Za dobu, co jsme putovali, jsme o banditech zjistili, že loupí každý druhý nebo čtvrtý den v týdnu, a to pouze pokud neprší; pokud prší, loupí jen, je-li pátý nebo šestý den v týdnu. Ovšem pokud je dvacátý den v měsíci a neprší, tak loupí také. Dnes je 14. den v měsíci a šaman tvrdí, že v následujících deseti dnech bude každý druhý den pršet, jinak bude hezky až do konce měsíce. Nevím sice, který je teď den v týdnu, ale vím, že tradiční oslava prvního dne v týdnu nebyla předevčírem ani nebude pozítří. Kdy nemáme cestovat, aby nás bandité neoloupili, když chceme vyjet do konce měsíce?

Hned jak jsme zjistili, jak tomu je, využili jsme svých poznatků a hned bylo o problém méně. Stezky byly naše a my jsme se mohli soustředit na to nejdůležitější -- na obchod. Další město, které se před námi objevilo, byl Chojbalsan -- město koní, velbloudů a žen. Inu -- kůň je voda, kůň je žena, kůň je kůň.

Úloha č. 3

Chojbalsan je tvořen šestnácti náměstími. Každé náměstí je spojeno se třemi nejbližšími náměstími ulicí (a s žádnými jinými). Všechny tyto ulice jsou stejně dlouhé a přímé. Zkuste nakreslit, jak Chojbalsan vypadá.

Na tržišti bylo velmi rušno, všude někdo pokřikoval, něco nabízel. Chtěli jsme se hned připojit, ale u bran tržiště stáli vojáci. Slušně jsme se jich zeptali, zda je možné začít na tržišti prodávat.

Ten větší nám hned odpověděl: „Na našem tržišti při vstupu platit nemusíte, ale je třeba ukázat, že se v obchodnickém řemesle vyznáte.“

Úloha č. 4

Ukázal na deset drahokamů naskládaných na zemi, za nimiž stály rovnoramenné miskové váhy bez závaží, a řekl: „Každý z těchto drahokamů má jinou hmotnost. Určete, který z nich je nejlehčí a který je nejtěžší. Můžete použít tyto váhy, ale vážit smíte jen třináctkrát.“

Uznávám, že nám úloha dala zabrat a mnohokrát jsem si vzpomněl na Fena. Nakonec jsme však přišli na řešení, k našemu úžasu jsme však zjistili, že už je šero a tržiště se vyprazdňuje. Rozhodli jsme se tedy, že prodávat naše zboží budeme zítra a raději se na to pořádně vyspíme. Vyrazili jsme tedy k nejbližší hospodě s úmyslem tam přespat. Večerní ulice Chojbalsan byly prázdné a světlé, jak je tady na severu v letních měsících zvykem.

Vtrhli jsme úspěšně do nějaké hospody a usedli k jednomu z prázdnějších stolů. Probíhala tu velmi zajímavá diskuse. „A já ti říkám, že Země musí být placka, kdyby byla kulatá, tak bychom z ní už dávno spadli. Jen si to představte, tady mám jednu kuličku -- dokud budeš stát tady nahoře, tak by bylo všechno v pořádku, ale jakmile by člověk došel až sem,“ prst toho muže vášnivě poletoval po kuličce, „tak se sklouzne a spadne kdovíkam.“

„Pořád mi nerozumíš, Losi,“ navázal druhý muž, ke kterému se teď stočil zrak všech přísedících, „tady na té straně budeš úplně stejně na vršku jako jsi byl,“ muž sebral Losimu kuličku a otočil ji o 90\deg. „Když to uděláš takhle, tak to funguje, a navíc tím vysvětlíš, proč je na severu delší den. Uvažuj přeci, když bude Slunce 100 milionů mil daleko...“

Přestal jsem poslouchat zajímavou debatu a rychle jsem si poznamenal úlohu do dopisu pro Fena.

„Země,“ namaloval jsem si kruh, „je tady. Slunce je tady,“ udělal jsem si puntík asi 25 palců od středu. „Měsíc je tady a průměr Země je z něj vidět pod úhlem 40\deg,“ namaloval jsem paprsek světla...

Úloha č. 5

Zemi na plánku představuje kruh o poloměru 5 palců; Měsíc a Slunce jsou vyznačeny jako body. Vzdálenost Slunce od středu Země je 25 palců. Sestrojte situaci na plánku, víte-li, že spojnice Slunce a Měsíce je tečnou ke kružnici představující obvod Země (bod dotyku leží mezi Sluncem a Měsícem) a Země je z Měsíce vidět pod úhlem 40\deg (tedy obě tečny ke kružnici vycházející z Měsíce svírají úhel 40\deg). Najděte bod, z něhož je vidět právě ta místa na Zemi, která nejsou vidět z Měsíce ani ze Slunce. Poznámka: Situaci uvažujte jen v plánku v rovině; nepovažujte tedy Zemi, Měsíc a Slunce za prostorové útvary. Zvolte vhodné měřítko.

Debata se ubírala dál, ale ani jeden z účinkujících nechtěl ustoupit ze svého stanoviska ani o píď. Přestalo mě to bavit. Rozhodl jsem se, že ráno moudřejší večera, a šel na kutě.

Hostinský nám našel podkrovní pokoj. Nebyl ani moc malý ani příliš pohodlný a našim účelům vyhovoval. Poděkoval jsem za doprovod a poslal hostinského zpět mezi jeho hosty. Přemýšlel jsem, zda má smysl čekat, než ostatní dorazí, ale vzhledem k tomu, že všichni ještě nebyli ani dole v hospodě, rozhodl jsem se dlouho nečekat. Usnul jsem velmi záhy, a jak už je u mě zvykem, mívám na cestách dost podivné sny.

Ten první byl o nějakém městě. Nepoznal jsem, jaké město to je -- žádné, které jsem doposud viděl, nevypadalo tak podivně, a navíc i ti lidé, co v něm žili, se chovali zvláštně. Město mělo tvar osmiúhelníku a dokonce se rozkládalo na osmi kopcích.

Úloha č. 6

Na čtyřech kopcích stály obranné věže. Všiml jsem si, že tvoří čtyřúhelník, kterému lze opsat kružnici. Navíc střed této kružnice ležel na spojnici dvou věží. Jak byly věže ve městě rozmístěny, pokud víme, že plocha čtyřúhelníku je maximální (aby mohlo být město chráněné co nejlépe při tomto počtu věží)? Poznámka: Zkuste vyřešit úlohu obecně nebo alespoň pro poloměr kružnice 1 míle.

Město přestalo být zajímavé, a tak začal sen druhý. Zdálo se mi o našem úkolu, dojít pro žluté srdce Velké Č. Narychlo jsme balili vše, co se nám zdálo potřebné -- několik jurt, jídlo, koně, plány. Vyrazili jsme za Chánovým služebníkem, jak bylo před několika dny domluveno. Služebník nikde nebyl. Chvíli jsme na sebe hleděli a poté začali usilovně kopat, protože jak je v Mongolsku zvykem -- chcete-li někomu zanechat vzkaz, zakopejte ho. Po chvíli hledání jsme vzkaz skutečně našli.

Úloha č. 7

„Milí moji oddaní kočovníci, byli jste vybráni pro velké cíle. Jestliže jste nastřádali dostatek koní, vyrazte za svým cílem. Dostatek je alespoň tak velké číslo, jako to nejmenší, jež splňuje následující podmínky: číslo je trojciferné a z trojciferných čísel má nejvíce dělitelů.“ Kolik nejméně koní potřebujeme pro naši cestu?

Sny byly natolik zajímavé, že jsem se probudil až do pozdního rána. Rychle jsem proto probudil ostatní, kteří zaspávali včerejší jistě velmi zajímavý večer. A společně jsme chvatným krokem vyrazili k tržišti.