Zadání 1. série 20. ročníku

Termín odeslání: 18. října 2004

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


„Je třeba vše připravit,“ ozýval se hlas Chánova služebníka z jurty.

„Ale pane, oni vám usilují o život, měl byste vyhledat bezpečnější místo,“ pokračoval druhý hlas, který patřil někomu, koho jsem v té době neznal.

„Přípravy již proběhly,“ konstatoval opět první hlas, „zítra vybereš schopné lidi.“

My, dnes již kočovníci, kteří uprchli z otroctví Velké Č., jsme přišli do těchto končin asi před dvanácti dny. Píše se rok 1 od našeho útěku do Mongolska, země pouští, sucha, zimy a koní. Ani jsme netušili, jak je svoboda těžká. V této pustině bez vody musíme přežít alespoň tak dlouho, než nabereme dost sil k návratu. Již od včerejška kopeme studny. Mě a Fena přiřadili do jedné skupiny kopáčů, a protože Fen nikdy nebyl na těžkou práci, přemýšlel o tom, jak kopat co nejefektivněji.

Úloha č. 1

Skupina má pět kopáčů. Kopáč vykope první den 130 věder a každý další o 40 věder méně, nejméně však žádné. Fen první den vykope pouze 80 věder. Za každý den odpočinku však vykope každý kopáč o jedenáct věder více, maximálně však tolik, kolik první den. Voda se nachází v deseti sázích a studna musí mít 1,5 sáhu v průměru, což je 1500 věder. Zároveň mohou kopat právě dva kopáči. Jak se mají střídat, aby byla studna vykopána co nejrychleji?

Fen nás nakonec rozdělil do několika úplně jiných skupin tak, že on pouze střídal, ale nikdo mu to neměl za zlé, přece jen je z nás nejhubenější a nejmenší. Večer už jsme byli hodně unavení, a tak nikdo nezůstal na hlídce. Uprostřed noci nás však probudil ryk koní, a než jsme se vyhrabali z našich jurt, koně byli ti tam. Polekali se vlků.

Úloha č. 2

Vlci zaútočili ve smečce, která čítala třináct vlků. Ti vytvořili kruh kolem vesnice. Vlci útočí tak, že nejprve vyběhne vlk, který je nejblíže vůdci smečky zleva, po něm vlk, který je druhý zleva od prvního, další je vlk třetí zleva od druhého atd. Který vlk vyběhne jako poslední? Vlk, který zaútočí, se do kruhu již nevrací.

Celou noc jsme je hledali, ale ztráty byly obrovské. Zůstali jen naši nejvěrnější koně. Většina z nich se krmila kolem rostoucí travou a lišejníky, ale ostatní byli pryč. Nakonec jsme se spokojili i s okolo pobíhajícími pštrosy, kteří se velmi snadno nechali odvést do ohrady.

„Půjdeme je hledat ráno, teď bychom je stejně jenom víc poplašili,“ navrhoval Fen, který sotva pletl nohama. „Ale tamhle vidím ještě tři,“ ozývalo se z druhé strany. Tahle vycházka bude dlouhá, pomyslel jsem si a dál jsem upřeně hleděl do tmy.

Úloha č. 3

Stádo, které jsme takto dopravili zpět, mělo 162 nohou a 45 hlav. Kolik bylo kterých zvířat, pokud právě dvě sedminy pštrosů měly zrovna hlavu v písku?

Dnes mi zbylo trochu času, a tak jsme se s Fenem učili jezdit na pštrosu. Když už jsem měl pocit, že dokážu pštrosovu hlavu udržet mimo písek, ozvalo se: „Hej, ty tam, půjdeš s námi“ Poznal jsem hlas, který se ráno ozýval z jurty. Pochopil jsem, o co jde. Zřejmě já mám být vyvolený. Začínal jsem být zvědav, co mě čeká. Fen mi jen smutně zamával a já poslušně šel.

Ukázalo se, že naše skupina čítá třináct členů. Proč zrovna tohle nešťastné číslo, mi stále vrtalo hlavou. Naše skupina měla šest mužů a sedm žen. Vždyť takto se ani rozhodnout nemůžeme. Naštěstí jsme se pro první cestu rozdělili, zajistili jsme tak jistotu rozhodování.

Úloha č. 4

Při rozhodování má každý muž právě tolik hlasů, kolik má manželek. Všechny manželky byly mezi vyvolenými. Každý muž (i svobodný) má vždy alespoň jeden hlas. Je možné při jakémkoli rozložení manželek (pokud má jeden muž sedm manželek a ostatní žádnou, je celkový počet hlasů jiný, než když má každý alespoň jednu) vytvořit dvě skupiny tak, aby rozhodnutí v obou skupinách byla vždy jednoznačná? Naše skupina má třináct členů -- z toho šest mužů a sedm žen. Ženy žádné hlasy nemají.

Naším úkolem bylo vyhledat samotného Chána a dozvědět se úkol, který nás očekává. Třásl jsem se vzrušením, ale to jen do doby, než mi sebrali mého pštrosa a já musel jít po svých. I vyrazili jsme nenápadně po neurčitých stopách. Každá skupina svou nenápadnou cestou. Popis trasy byl navíc důkladně zašifrován. Vzpomněl jsem si na Fena, takhle jsme strávili několik hodin, než jsme porozuměli. Cesta vedla poli, lesy a kolem jezer. Nakonec jsme stanuli před jeskyní, kde nás uvítal Chánův sluha a informoval nás, jak máme před Chánem vystupovat.

Úloha č. 5

Jak máme při audienci stát, jestliže každý z nás dostane číslo 1 až 7 (1 až 6, záleží na skupině)? Máme vytvořit kruh tak, aby číslo 2 stálo vedle toho, kdo stojí vedle čísla 1. Číslo 3 vedle toho, kdo stojí vedle čísla 2 atd. až číslo 1 vedle toho, kdo stojí vedle čísla 7 (respektive 6). Lze takovýto kruh vytvořit v obou skupinách?

Chán je člověk duševně velmi na výši, a proto hovoří pouze se svým sluhou, a to jedině telepaticky. Byli jsme také varováni, abychom mysleli v jeho přítomnosti pouze na věci morálně vysoké a ne na nějaké růžové slony. Poté jsme byli odvedeni někam do nitra jeskyně. Chodby jeskyně byly asi dva sáhy široké, a tak i nejsilnější z nás mohli jít celkem pohodlně. Chodba byla klenutá a na stěnách bylo možné spatřit nějaké obrázky lidí, jelenů a dalších zvířat. Lovci měli kamenná kopí a radovali se z právě ulovené laně. Tyhle obrázky jsem někde již dříve spatřil, upoutala mě však lovcova zbraň, takovéhle hroty jsem ještě nikde neviděl.

Úloha č. 6

Jaký objem má hrot oštěpu, jestliže má tvar průniku jehlanu a krychle? Jehlan je pravidelný trojboký a jeho tělesová výška leží na stejné přímce jako tělesová úhlopříčka krychle. Délka hrany krychle je pak osm palců, hrana podstavy jehlanu má tři palce a výška jehlanu je šestnáct palců. Obě tělesa mají společný jeden vrchol a tři průsečíky hran.

Zřejmě nějaké děcko rozmazalo kresbu, pomyslel jsem si, ale poznamenal jsem si úlohu, abych udělal Fenovi radost. Postupovali jsme chodbou dále, průvodce nás postupně upozorňoval na jednotlivé pasti a my takto prokličkovali celou jeskyní. Nakonec se před námi otevřela ohromná kruhová místnost, v jejímž středu právě meditoval Chán Temudjin. Vytvořili jsme dané obrazce a čekali, co se bude dít.

Úloha č. 7

Všiml jsem si, že Chán a jeho sluha stojí právě v místech průsečíku společných tečen obou našich kruhů. Dokážete určit, kde mohli stát, pokud víte, kde jsme stáli my?

Nastalo ticho, ze kterého nám chánův sluha tlumočil Temudjinovo přání. Náš úkol byl jasný. Přinést žluté srdce Velké Č. Naše radost opadla.