Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.


Úloha č. 1

Úloha není nikterak těžká. Nejlépe je řešit ji tabulkou. Psát si postupně, jak v průběhu týdne ubývá ječná či pšeničná mouka, a dávat pozor, zda náhodou nevaří Lutze nebo Cen. Následující tabulka je postačující řešení (čísla jsou zaokrouhlena na 2 desetinná místa).

den 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.
ječná 40 33,25 26,5 20 20 14,1 14,1 8,49 8,49 3,64 3,64 3,64 0
pšeničná 25 25 25 25 19 19 13,59 13,59 8,49 8,49 4,13 0 0
spotřeba 6,75 6,75 6,5 6 5,9 5,41 5,61 5,10 4,85 4,36 4,36 -- --

Poměrně záludné je ovšem vytváření závěru. Pokud budeme uvažovat, že třináctý den už opravdu nebude z čeho vařit, tak je odpověď 10. den, ale dle zadání již nemůžeme postupovat den jedenáctý a to znamená, že bychom byli na cestě 7. den.

Komentář: Většina došlých řešení byla správně, nebo obsahovala jen nepatrné numerické chyby. Jen několik řešitelů špatně četlo zadání a odečítala desetinu druhé mouky, zatímco v zadání bylo jasně psáno, že každý den používáme jen jeden druh mouky. Pokud jste měli tabulku správně a rozumný závěr, udělil jsem pět bodů.

Úloha č. 2

Nechci opakovat své spoluopravovatele, ale ani moje úloha nebyla těžká. Šlo pouze o to mít dobrý nápad. Víme, že já řeknu Vigimu vždy zbytky po dělení prvočísly, které v rozkladu nemám. Nápadem tedy bylo, využít této vlastnosti a nechat si ode mě říci jaké, že si to číslo myslím.

Toho bylo možné využít, tak že by Vigi tipnul prvočíslo větší než je 30000 (horní hranice hádaného čísla), například 30011. Já už bych mu pak musel říci zbytek po dělení tímto číslem a jestliže je mé číslo menší než 30000 a větší než 2000, pak tento zbytek je roven číslu, které si myslím, a Vigi ho na druhý pokus uhádne.

Variantou téhož byla hra, kdy by Vigi tipoval číslo mezi 2000 a 30000, zde ale můžeme využít toho, že myšlené číslo je větší než 2000, a tipnout prvočíslo, které bude větší než 28000 (například 29989). Zbytek, který pak Vigimu řeknu bude buď menší než 2000 (v našem případě než 11), pak k němu přičtu prvočíslo, které jsem tipoval (29989), a takto uhádnu myšlené číslo, anebo je větší než 2000, a pak je situace stejná jako v předchozí hře.

Komentář: Všem řešitelům: jestliže budete hledat pro nějaké řešení velké prvočíslo, zkuste použít nějaké tabulky anebo počítač. Pokud vím, zatím neznáme jiný způsob, jak ověřit zda je číslo prvočíslem, než ověřit, že nelze vydělit všemi prvočísly menšími než odmocnina ověřovaného čísla.

Úloha č. 3

Nejprve si řekněme, co budeme považovat za cestu a co za způsob dostání se k paláci. Cesta se nekříží sama se sebou, ale může se křížit i s libovolnými ostatními cestami (i několikrát). Za způsob dostání se k paláci budeme počítat takový, že neprojdeme dvakrát žádný úsek nějaké cesty, ale víckrát můžeme projít stejnou křižovatkou. Zároveň dvě projití považujeme za jeden způsob, pokud se liší jenom v pořadí, v jakém úseky procházíme. Tak teď, když už víme, co za úlohu řešíme, tak stojíme před dalším problémem, že cest je lichý počet (21) a způsobů sudý počet (144). Existuje například způsob, jak překřížit tři cesty, které se dají projít 18 způsoby (obr. 1). (Zkus si to.) Dále si stačí uvědomit, že pokud se kříží dvě cesty, tak po projití křižovatky máme dvakrát více způsobů. Tedy na obrázku 2 jsou čtyři možnosti projití, na obr. 3 je 16 možností, na obr. 4 je 64 možností, jak projít. Teď už jenom křižovatky správně zkombinujeme: použijeme tři z obr. 1, ostatní po jedné a doplníme to šesti cestami, které se křížit nebudou. Tak například mohla vypadat zahrada jako na obrázku 5 (pro jednoduchost předpokládáme, že palác se rozprostírá po celé straně zahrady, jinak by se obrázek značně znepřehlednil).

obr. 1

obr. 2

obr. 3

obr. 4

obr. 5

Komentář: Úloha šla pochopit více způsoby, a tak když jste mi přesně napsali, jakou úlohu řešíte, a vyřešili jste ji správně, dostali jste 5 bodů. Pokud jste řešili úlohu pouze s 20 cestami nebo více než 144 způsoby, tak jsem vám řešení neuznala a dostali jste 1 bod.

Úloha č. 4

Předpokládejme, že všechny schody jsou stejné. Bez ohledu na to, jaký úhel svírá stěna, do které byly schody vytesány, se zemí, platí toto: je-li schodů 256 a mají-li vystoupat do výšky 70 m, pak výška jednoho schodu musí být rovna v = 70\over256 \doteq 0,273 m = 27,3 cm.

Pojem „délka schodiště“ může mít více významů. Většinou jste pod ním chápali buď součet délek vodorovných ploch schodů, nebo součet délek přepon schodů.

V prvním případě se délka jednoho schodu spočítá obdobně jako jeho výška: d_{1} = 500\over256 \doteq 1,953 m (délka schodiště je 500 metrů).

Ve druhém případě použijeme Pythagorovu větu. Platí: p = 500\over256, $d_{2} = \sqrt{p{2} - v{2}} = 1\over256 \cdot \sqrt{500{2}-70{2}} \doteq 1,934 m$ (viz obrázek).

Komentář: Pokud jste si ujasnili, co rozumíte délkou schodiště, byla úloha poměrně jednoduchá.

Někteří z vás si všimli, že celé schodiště nemůže mít tvar trojúhelníku. K jeho zadání totiž stačí právě tři údaje, zatímco zadání úlohy obsahovalo čtyři.

V trojúhelníku platí, že naproti nejmenšímu úhlu je nejkratší strana. Je-li tedy přepona dlouhá 500m, musí být strana a kratší než 500 m, ale podle Pythagorovy věty je jistě delší než 70 m. Zároveň je naproti nejmenšímu úhlu (20\deg), což je spor. Schodiště tedy nemohlo vést přímo. Právě za tento omyl jsem strhávala 1 až 2 body.

Úloha č. 5

Chceme zjistit, jaký objem má útvar složený ze tří částečně se přesahujících jehlanů. Útvar si rozdělíme na jednodušší části: spodní jehlan bez špičky, prostřední jehlan bez špičky a horní jehlan.

O špičce spodního jehlanu víme, že její výška je třetinou výšky celého jehlanu. Z podobnosti vhodných trojúhelníků můžeme zjistit, že i délka hrany podstavy špičky je třetinou délky hrany celého jehlanu. Dohromady dostáváme, že objem špičky je 1\over3 \cdot 1\over3 \cdot 1\over3 = 1\over27 objemu celého jehlanu, a zbylá část (jejíž objem se snažíme počítat) tvoří zbylých 26/27. Stejně tak to platí pro prostřední jehlan.

Objem jehlanu vypočítáme jako součin plochy podstavy a výšky dělený třemi. Podstava je rovnostranný trojúhelník (protože jehlan je pravidelný trojboký) vepsaný do kružnice o známém poloměru r. Pomocí Pythagorovy věty snadno spočítáme délku jeho strany a=\sqrt{3}r. Protože v rovnostranném trojúhelníku je těžnice totožná s výškou, a dále úsek těžnice od vrcholu k těžišti je přesně poloměr kružnice opsané, dostáváme, že výška podstavy je v_{p}=3r/2. Celkově obsah podstavy je S=av_{p}/2= 3\sqrt{3}r^{2}/4. Objem spodního jehlanu (včetně špičky) tedy je V_{\Delta}=3\sqrt{3}r^{2}v/12=\sqrt{3}r^{2}v/4.

Protože prostřední jehlan je o třetinu menší než spodní, dostaneme jeho rozměry tak, že všechny rozměry spodního jehlanu vynásobíme 2/3. Objem tedy získáme vynásobením 2\over3 \cdot 2\over3 \cdot 2\over3 = 8\over27. Stejně tak z prostředního jehlanu po vynásobení 8/27 získáme objem horního jehlanu.

Objem spodního jehlanu beze špičky je tedy 26\over27 \cdot V_{\Delta}, objem prostředního beze špičky je $26\over27 \cdot 8\over27 \cdot V_{\Delta}$ a objem celého horního jehlanu je 8\over27 \cdot 8\over27 \cdot V_{\Delta}. Celkový objem zkoumaného útvaru je tedy

V = \left(26\over27 + 26\over27 \cdot 8\over27 + 8\over27 \cdot 8\over27_right()) \cdot V_{\Delta} = 974\over729 \cdot V_{\Delta},

po nahrazení V_{\Delta} hodnotou ze třetího odstavce pak V=487\sqrt{3}r^{2}v/1458, po dosazení číselných hodnot ze zadání zhruba 6,248 m^{3}.

Komentář: Úloha byla sice dosti pracná, ale bylo celkem jasné, jak si s ní poradit. Tomu odpovídala i došlá řešení -- až na drobné numerické chyby a nepřehledné popisy se žádný problém ve větší míře nevyskytl.

Úloha č. 6

Chceme-li maximalizovat počet odpočívadel, musíme minimalizovat počet schodů mezi nimi. Označme s_{n} počet možností, jak rozložit n schodů na součet, kde se objevují jako sčítanci pouze čísla 1, 2 a 3. Potom pro n>3 platí: s_{n}=s_{n-1}+s_{n-2}+s_{n-3}, neboť mohu chodit právě o jeden, dva, nebo o tři schody. Dále platí: s_{1}=1, to vlastně říká, že jeden schod mohu vyjít jedním způsoben, s_{2}=2 -- dva schody mohu vyjít po jednom schodu či po dvou, tedy dvěma způsoby. A nakonec tři schody mohu zdolat takto: (1+1+1; 1+2; 2+1; 3), a proto s_{3}=4. Výše uvedeným rekurentním vzorcem zjistíme, že s_{4}=4+2+1=7, s_{5}=7+4+2=13, s_{6}=13+7+4=24 a s_{7}=24+13+7=44. Nejnižší n, pro které je n \cdot s_{n} větší než 256, je 7 (7 \cdot 44 = 308). Úseky mezi odpočívadly jsou stejně dlouhé, musí tedy počet schodů mezi odpočívadly dělit celkový počet schodů. Nejbližší vyšší dělitel čísla 256 je osmička. Úseky mezi odpočívadly jsou dlouhé osm schodů a samotných odpočívadel je 31.

Na závěr ještě rozeberu možnost, kterou autor neměl při zadávání příkladu na mysli, nicméně i tak si bylo možno zadání vyložit. Pokud mezi zemí a prvním odpočívadlem a také mezi posledním odpočívadlem a vrcholem může být libovolný počet schodů, potom je n=7 a odpočívadel je 37 s poznámkou, že na první a poslední úsek schodů zbývá rozdělit 4 schody.

Komentář: Vzorové řešení je velmi elegantní, toto řešení poslali Mirek Klimoš a Miroslav Olšák. Pěti body jsem hodnotil i pokud jste rozebírali součty pro jednotlivé dělitele čísla 256, což poslala většina ostatních.

Úloha č. 7

Zadání úlohy se dalo pochopit dvěma způsoby. První možnost předpokládala, že se šíp do prsou zabodne kolmo. Pak bylo nutné spočítat, jak velká část zůstane mimo tělo a jak dlouhý stín bude vrhat. Situace je nakreslená na levém obrázku, kde bod O je oko, bod L jsou letky šípu a H je místo, kam se šíp zabodl.

Pak podle Pythagorovy věty platí: $|LH| = \sqrt{|OL|{2}-|OH|{2}} = \sqrt{25{2}-13{2}}= \sqrt{456} \doteq 21,35 p$. Délku stínu vypočteme pomocí podobnosti trojúhelníků. Protože předmět vysoký 2,5 m má stín dlouhý 35 m, platí vztah s \over \sqrt{456} = 35 \over 2,5, kde s je délka stínu šípu. Máme $s= 35 \cdot \sqrt{456} \over 2,5 \doteq 298,96$ palců. Výsledek je v palcích, neboť poměr podobnosti je stejný jak v palcích tak v metrech. V tomto případě tedy stín bude dlouhý asi 299 palců.

Druhý způsob pochopení úlohy spočíval v tom, že se šíp nezabodne do těla, že zůstane jen „přilepen“. Tato varianta byla zamýšlena jako skutečné zadání úlohy a také je těžší než předchozí případ. Nyní jde o to spočítat jednu z výšek trojúhelníku o stranách 13, 25, 30. Situace je načrtnuta na pravém obrázku.

Označme |LP|=v, |PO|=a. Pak podle Pythagorovy věty pro trojúhelníky LPH a LPO platí v^{2}=30^{2}-(13+a)^{2} a v^{2}=25^{2}-a^{2}. Porovnáním pravých stran máme

\eqalignno{ 25^{2}-a^{2} &= 30^{2}-(13+a)^{2}, \cr 25^{2}-a^{2} &= 30^{2}- 13^{2} -26a -a^{2}, \cr 26a &= 30^{2}-13^{2}-25^{2}, \cr a &= 106\over26 = 53\over13 \doteq 4,08 p. \cr }

Z první rovnice vypočteme v: $v = \sqrt{25{2}-a{2}} = \sqrt{25{2}-\left(53\over13_right()){2}} \doteq 24,67 p$. Podobně jako v první části vypočteme délku stínu s, který vrhá předmět vysoký v palců, je to s = 35v \over 2,5 \doteq 345,31 palců. Ale musíme si uvědomit, že toto je délka stínu předmětu, který je kolmý k zemi. V zadání úlohy je řečeno, že šíp směřuje na východ a slunce svítí ze západu.

Podle obrázku je tedy délka stínu šípu rovna součtu délek s+|HP|=s+13+a, po dosazení je to asi 362,39 palců.

Komentář: Pokud jste úlohu pochopili jedním z uvedených způsobů, dávala jsem za správné řešení plný počet bodů. Vyskytli se i řešitelé, kteří spočítali pouze délku stínu šípu, který byl kolmý k zemi, ale nezabodl se. Tato řešení jsem ohodnotila jedním bodem.

Opravovali: 1. a 6. Ondřej Honzl, 2. Jan Blažek, 3. Eva Černohorská, 4. a 7. Lenka Burešová, 5. Petr Škovroň.