Zadání 6. série 19. ročníku

Termín odeslání: 24. května 2004

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


Na náměstí se začali sbíhat i lidé. Numerům se totiž povedlo odpojit elektrický proud. Nikdo nevěděl kde, ale stalo se tak. Dokonce i tramvaje přestaly jezdit. To Barnabáše silně rozlítilo -- vyběhl rozlícený z tramvaje, ani si na sebe nestačil vzít bundu, za ním se vydali přítomní členové Pletacího spolku s Drobečkem v náruči slečny Kankrlíkové, neboť pan Sobíšek řekl, že Barnabáše ještě takového neviděl, že by mohl být nebezpečný. (Pro sebe dodal: „A to by mohlo být zábavné.“ Pan Sobíšek byl občas velmi škodolibý.)

Úloha č. 1

Jistý prapředek pana Sobíška, který byl ještě škodolibější než jeho potomek, měl kdysi za pobuřování za trest spočítat takovouto úlohu, což také učinil: V jistém státě je 77 měst. Všechny vzdálenosti dvojic měst jsou navzájem různé. Občas se stane, že najednou z každého města vyjede well-bloud do nejbližšího města. Může do nějakého města dorazit šest well-bloudů, každý z jiného města? Poznámka: Vzdálenosti měst se měří vzdušnou čarou.

Na náměstí se hnal i starosta, kterému výpadek proudu znemožnil promluvit prostřednictvím mikrofonu k davům. Jeho rychlosti stačila pouze Verliba, která měla mít proslov k davům po něm. Jediní, kdo nepospíchali na náměstí, byli vynálezce Šnytlík, spokojený v policejní cele a plně zaměstnaný řešením rozličných problémů, a jeho asistent Hrc, který zachraňoval laboratoř před výbuchem, neboť se zastavily všechny elektrické chladiče a větráky a míchadla a jiné rozličné přístroje a aparatury. Pobíhal po laboratoři a zhášel plameny hořáků, točil s kohouty, hýbal s pákami a do toho nepříčetně skučel něco o síranech a nitrátech. Přitom ještě stihl v hlavě počítat následující úlohu.

Úloha č. 2

Ve výkopu šířky 150 cm jsou opřeny dva žebříky jako na obrázku, jeden má délku 250 cm, druhý délku 390 cm. Zjistěte, jak vysoko jsou zkřížené.

Náměstí dunělo. Uprostřed se nacházela hromada numer, jakási živá pyramida zeleného slizu. A ze všech ústí uliček se vyvalili Městčané. Když uviděli horu numer, tak se zamysleli, jestli přece jen nemají počkat s pomstou, a jak se zamysleli, tak zpomalili, až se úplně zastavili. Dopředu se prodral pan starosta, Verliba a Barnabáš, následovaný svou svitou.

První nabral dech Barnabáš a spustil: „To se nestydíte?! Jak mám teď dojet na konečnou? Co...“

V tom ho přerušil pan starosta: „Promiňte, já jsem starosta tohoto města, tak snad mám mám právo jako první lát numerům, ne?“

„Snad tuto čest přenecháte dámě?“ ozvala se hlasitě Verliba.

Následovala hádka, samozřejmě v mezích slušnosti. Numera začala bučet a hýkat, hluk nabíral na hlasitosti a mísil se s roztržkou Barnabáše, starosty a Verliby, až si shromáždění Městčané museli zacpat uši před tím hřmotem. Z hroudy se oddělily tři chapadlovité shluky numer a popadly tři rozvaděné lidi, tedy vlastně tvory, a zvedly je do výšky nad náměstí. Hluk rázem ustal.

Úloha č. 3

Do roviny se dají umístit tři kruhy A, B a C tak, že oblast abc, kde se protínají všechny tři, bude souvislá, oblast ab, kde se protínají A a B, také a všechny ostatní části rovněž:

Následující nakreslení požadovanou vlastnost nemá, i když dělí rovinu na správný počet částí.

Dá se to udělat pomocí čtyř kruhů (tak, že vnitřních oblastí bude 15)?

Starosta se ještě chvíli hádal s Barnabášem, než si všiml, že poctivé, bytelné dláždění je o něco níže, než je zvyklý, a v tu chvíli mu něco z hloubi jeho mozku napovědělo, že by měl začít panikařit, poněvadž odmalička trpíval závratí. To hned také učinil, zařval hrůzou: „Sundejte mě dolů“ a s talentem špičkové herečky jemných, křehkých hrdinek omdlel.

V tom se do přední linie davu protlačila 7. A, třída noční základní školy, pan řídící Josef Janeček nařídil: „K boji připravit! Za záchranu starosty -- pal“ Na hromady numer dopadla salva rajčat a mrkve (laskavě bez svého vědomí zapůjčilo zelinářství Pokrotka a syn, dcera, snacha & tchyně, zal. 1930). Numera zakolísala, pan starosta jim vyklouzl z chapadel a s bolestivým žuchnutím dopadl na dláždění.

Když se dláždilo náměstí, museli dlaždiči vyřešit takovýto problém.

Úloha č. 4

Kolika způsoby lze vydláždit plochu 3 m \times 20 m dlaždicemi o velikosti 1 m \times 3 m? Poznámka: Způsobů může být i víc než 1000, nemusíte je všechny kreslit.

V tu chvíli vyrazila z útvaru sedmé á záchranná četa v čele s Pepičkou, mávající neohroženě pravítkem, osm dětí se chopilo sténajícího starosty a kvapně ho odneslo do bezpečí. Byli vysláni poslové pro zásoby munice.

Úloha č. 5

Přinesli bílá a hnědá vajíčka, nějakým způsobem promíchaná v šesti košících tak, že v prvním košíku jsou čtyři vajíčka, v druhém šest, ve třetím 12, ve čtvrtém 13, v pátém 22 a v šestém 29 vajíček. Jeden z košíků byl vypotřebován, ostatní nebyly použity. Který z nich to byl, jestliže zbylo dvakrát víc bílých vajíček než hnědých?

Barnabášovi bylo trochu mdlo, proběhl mu před očima celý jeho život, hlavně doba po příchodu numer a tu mu svitlo: „Slečno Kankrlíková! Drobeček“

V tu chvíli se Drobeček probudil, zavrtěl se v náručí slečny Kankrlíkové, ta se na něj podívala a vykřikla překvapením. Drobeček měl na hlavě modrou skvrnu -- přesně v místech, kam ho udeřil Barnabáš!

Úloha č. 6

V rovině jsou dány body X, Y a S. Sestrojte čtverec ABCD tak, aby bod X ležel na přímce AB, bod Y na přímce BC a bod S byl střed čtverce.

Drobeček zvedl hlavu, podíval se na numera a vydal ostrý zvuk. Numera v tu chvíli ztuhla. Drobeček seskočil z rukou slečny Kankrlíkové a vyšplhal na vrchol slizké pyramidy, kde se usadil jako na trůně. Numera pak pomalu položila na zem Barnabáše i Verlibu. Městčané zatajili dech.

V tom Drobeček začal mluvit lidským hlasem: „My, Drobeček, 547. chán numer, vám děkujeme, že jste se na chvíli rozdělili o své město s mými poddanými. Ale teď je třeba se rozloučit, máme domluvenou oficiální návštěvu poutě na Siriu.“ Pak zvedl jedno chapadlo k nebi, udělal na něm uzel, takže vypadalo jako ruka stopaře, a začal s ním mávat. Než se dav stačil vzpamatovat, sneslo se z nebe něco žlutého, obrovského, otevřela se tomu ve spodku díra. Ta vcucla hromadu numer, zavřela se a něco žluté, obrovské odletělo.

Úloha č. 7

Tentokrát se otevřela jiná lichoběžníková díra, která inspirovala tuto úlohu: V lichoběžníku ABCD (AB \parallel CD) je |AB|=80 cm, |CD|=40 cm, |\angle DAB|=53\deg a |\angle CBA|=37\deg. Vypočtěte vzdálenost středů základen AB a CD.

Do následujícího ticha vpadl hlas strýce Čertovce: „Drahá panhí Verlibo! Asi jsem to mhněl udělat už dhávno, ale aspoňh teď: žhádám vás o ruku.“

„Ó,“ vzdychla překvapeně Verliba, „ale jak byste mohl se mnou žít? Já přece bydlím na mořském dně.“

„Nhic se o mhě nebojte, já huž si s tím poradhím,“ odvětil strýc Čertovec. „Mám mhezi předky jednoho vodhníka.“

A tak se další den v Městci slavila svatba, všichni se radovali, že se Verliba a strýc Čertovec berou a že se zbavili numer, jedli, pili a žili šťastně až do smrti smrťoucí.