Zadání 3. série 19. ročníku

Termín odeslání: 26. ledna 2004

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


Barnabáš vyjel do ztemnělých ulic. Byly opravdu ztemnělé, poněvadž v nich bylo temno. Jak se mohl později každý, koho temno zajímalo, dozvědět, onen nedostatek světla zapříčinilo jedno numero, které vyšplhalo na sloup vysokého napětí vedle elektrárny -- naštěstí duchapřítomný technik vypojil proud, takže se nezdárnému tvoru nic nestalo. Vzápětí se mu povedlo vedení oslintat a pokrýt slizem tak důkladně, že pokud by se elektřina zapnula, hrozilo poškození elektrické sítě. Naštěstí tramvaje byly napájeny ze zvláštní elektrárny na pobřeží.

Úloha č. 1

Jaké bylo číslo sloupu, na které vylezlo numero? Ví se pouze to, že je to největší pětimístné přirozené číslo, které je násobkem jedenácti a jehož ciferný součin je 16. Najděte jej. Poznámka: Podobně, jako je ciferný součet nějakého čísla roven součtu všech číslic tohoto čísla, ciferný součin čísla je roven součinu všech jeho číslic.

Barnabáš přijel k první zastávce. Ten den bylo úterý, takže se v jeho tramvaji konala neformální schůzka Pletacího spolku. Pletací spolek sdružoval lidi, kteří rádi pletli, háčkovali, paličkovali nebo používali jinou techniku k výrobě látek. Dokonce v něm byli necelými dvaceti procenty zastoupeni muži. Ten den nastoupila do vozu paní Kožíšková, slečna Kankrlíková a pan Sobíšek. A hned vyndali z tašek pletací jehlice, pohodlně se usadili do sedadel blízko řidičské kabiny a začali drb...
tedy uvádět rozličné informace z ještě rozličnějších zdrojů a (to hlavně) svůj názor na ně.

„Panu Šimáčkovi v galanterii došla ta pěkná vlna,“ posteskla si hned na začátek paní Kožíšková, „jak já jenom švagrové dopletu ten svetr?“

„Tak dokupte trochu jiné vlny, tmavší červenou. Nebo bílou. S bílou se dá kombinovat prakticky všechno,“ snažil se pomoci pan Sobíšek.

Obě ženy na něj vrhly pohled, který mísil údiv i rozpaky nad existencí tvora, který je schopen kombinovat tmavší červenou s jakoukoliv barvou. Vypadalo to, že přemýšlejí, zda takového jedince nemají začít veřejně litovat. Nejrychleji se vzpamatovala slečna Kankrlíková: „Tak si představte, sousedka se zbláznila! A kdyby jen sousedka...“

„Cože to?“

„Sousedka a další tři ženské začaly kupovat žehličky ve velkém“

„Jakže? A proč?“

,,Tak si to poslechněte:

Úloha č. 2

Čtyři dámy, ctnostné paní
našly svoje zalíbení
v kupování žehliček.

První vzala po neděli
dvě pětiny těch, co měli
zrovna ten den na skladě.

Druhá, bledá milostslečna,
za třetinu zbytku byla vděčna
a ještě jednu koupila.

Třetí, štíhlá baronesa,
dvě žehličky domů nesla,
k tomu třetinu, co zbylo.

Čtvrtá, tetka ze sousedství,
polovinu zbylých vrství
v komoře. Pak tři ještě koupila.

Večer v krámě spočítali
zbylé zboží na skladě:
Žehličky jim zbyly dvě.

Kolik že jich měli ráno?
Bude někým posčítáno
tohle dámské zalíbení?

„No, hlavně že to nikomu neškodí. Já říkám: Tolerovat se může všechno, dokud to neodnese něčí zdraví,“ uzavřela debatu paní Kožíšková.

Pan Sobíšek přitakal.

Zatím si slečna Kankrlíková namotala vlnu z klubíčka, které měla schované v krabičce tvaru kvádru.

Úloha č. 3

Do kvádru o rozměrech 7, 8 a 9 centimetrů umístíme kouli o poloměru 3 centimetry tak, že se dotýká právě tří stěn kvádru. Kvádr rozdělíme na krychličky s hranami délky 1 cm, rovnoběžnými s hranami kvádru. Do kolika takových krychliček bude koule zasahovat?

V tu chvíli se z rádia, co používal Jeremiáš Pantofel, ředitel společnosti Trolej & Výhybka, k úředním hlášením pro řidiče, ozvala dramatická zpráva: „Městec žádá o pomoc všechny své obyvatele! Byli jsme zaplaveni neznámými bytostmi pochybného původu! Jsou označovány jako numera. Kdo najde způsob, jak tyto tvory eliminovat nebo alespoň odradit od nekalých skutků, bude odměněn! Toto prohlášení vydává starosta a celá starostenská rada, včetně podvýborů pro pejskaře a kopiníky.“ Rádio zmlklo.

„No to zase budou orgie“ ozval se s odplivnutím v zadní části hluboký hlas. Byl to well-bloud. Zrovna se odtrhl od zajímavého problému:

Úloha č. 4

Jsou dány soustředné kružnice k_{1}(S,10 cm) a k_{2}(S,6 cm) a uvnitř mezikruží bod M. Sestrojte bod X na kružnici k_{1} a Y na k_{2} tak, aby bod M ležel na úsečce XY a délka této úsečky byla 8 cm.

„Co tady děláte?“ otázal se přísně Barnabáš a zastavil na další zastávce.

„Ále, jedu na návštěvu ke spolku Přátelé komoňstva. A zítra jsem pozván na seno a džber vody o páté ke starostovi.“

„Tak to jo. Stejně bude mít zítra starosta plnou hlavu těch numer. Doufám, že nezapomene na vaše seno.“

To well-blouda poněkud rozladilo: „Neví někdo, co by se s tím dalo dělat?“

„Já myslím,“ ozvala se paní Kožíšková, „že to neví nikdo.“

Barnabáš nejistě přejel rukou balíček Tr-karet.

Úloha č. 5

Tr-karty jsou speciální hrou městeckých řidičů tramvají. Používá se 105 karet a hraje sedm hráčů. Kolika způsoby lze rozdat všechny karty (každému hráči 15)? Způsoby rozdání přitom považujeme za různé, pokud vedou k jinému cílovému rozložení karet. Průběh rozdávání nás nezajímá.

„Hm“ povzdechl si well-bloud. „Tak to budete muset použít žlutolístek.“

„Cože je to?“ zazněla do rozpačitého ticha otázka pana Sobíška.

„To je tahleta kytka,“ well-bloud odněkud vytáhl oschlou snítku připomínající pampelišku, „když ji někdo spolkne, tak z něj začne na chvilku mluvit Velká věštkyně. No, nejlepší bude, když ji sní tady pan Sobíšek. Má na to nejlepší postavu.“

Pan Sobíšek se ihned začal bránit: „Ale, ale to nejde! Jak by ze mě mohla mluvit Velká věštkyně, když jsem muž?“

„A proč ne? Vždyť platí rovnoprávnost“ oponovala mu slečna Kankrlíková. Nato mu paní Kožíšková žlutolístek přidržela důrazně před obličejem.

Úloha č. 6

Vezměme čtvercové tabulky o čtyřech řádcích a čtyřech sloupcích a vepisujme do nich postupně přirozená čísla takto:

1 2 3 4 17 18 19 20
5 6 7 8 21 22 23 24 ...
9 10 11 12 25 26 27 28
13 14 15 16 29 30 31 32

Jak budou vypadat čísla v sedmnácté tabulce? Jak by vypadalo páté číslo zleva ve druhém řádku dvacáté třetí tabulky, pokud bychom použili tabulky o sedmi řádcích a sedmi sloupcích?

Po mnoha podivných zvucích a mírně urážlivých poznámkách spolkl pan Sobíšek žlutolístek. Po pěti vteřinách zamrkal a promluvil: „Tak honem, honem, co potřebujete? Jsem právě u kadeřnice a na dlouhé vybavování se nemám čas“

„Dobrý den, Velká Věštkyně --“ začal Barnabáš, ale byl přerušen Velkou Věštkyní.

„S formalitami se nezdržujte, přejděte rovnou k věci! A mluvte víc nahlas, je tady nějaký hluk“

„Potřebovali bychom vědět,“ začala znovu a nahlas paní Kožíšková, „co máme dělat, abychom se zbavili těch potvor, těch numer?“

„Na veršování ani na nějakou mystiku nemám čas, takže vám to dám rovnou syrové: musíte najít numero s modrou skvrnou na hlavě. To je všechno.“

„Ale...“

„Víc už vám nesmím říct,“ brebentila věštkyně a škodolibě si odfrkla, „brání mi v tom astrální síly. A navíc kadeřnice už čeká! Sbohem“

Pan Sobíšek zamrkal. Věštění zjevně skončilo.

Nastalo ticho.

„No, tak doufám, že s těma numerama něco uděláte do zítřka do pěti hodin. Jinak budu na vás na všechny rozzlobenej,“ řekl well-bloud a než mohli ostatní protestovat, vystoupil z tramvaje.

Ke všemu ve voze zapomněl dárek pro paní starostovou: mísu.

Úloha č. 7

Mísa má dno kruhového tvaru o poloměru 5 cm, je vysoká 17 cm a horní kruhový okraj má poloměr 12 cm. Vnější plášť mísy má tvar kulového pásu. Jaký poloměr by měla koule z bukového dřeva, z níž by po vyřezání takové mísy zbyl nejmenší odpad?