Zadání 1. série 19. ročníku

Termín odeslání: 20. října 2003

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


Barnabáš Babáček řídil tramvaje ve velikém městě Městci, tak velikém, že zabíralo celý ostrov. Tramvají jezdilo v ulicích spousta, protože Městčané neradi řídili auta. Barnabáš Babáček řídil rád noční tramvaje -- i těch tu jezdilo plno, protože polovina lidí raději žila a pracovala v noci.

Úloha č. 1

Jaké číslo měla linka tramvaje, na které jezdil Barnabáš? Linky jsou číslovány od 10 do 99. Přitom kdyby Barnabáš mezi číslice své tramvaje vložil číslo 193, dostal by pěticiferné číslo, které dá po vydělení sedmi zbytek 2. Kdyby tam však vsunul číslo 391, dostal by číslo, které má po dělení šesti zbytek 5. Uveďte všechny možnosti.

Při přestávce pozoroval pět dětí, jak hrají hru s míčem. (Byla noc, ale děti měly rády tmu a chodily do noční školy a ve dne spaly.) Barnabáš k tomu přikusoval chleba, který měl z domova. Hra vypadala takto:

Úloha č. 2

Hráli si na čtverci z dlaždic. Dlaždice byly čtvercové a v každém sloupci i každé řadě velkého čtverce jich bylo sedm. Krajní dlaždice byly bílé, uvnitř čtverce pak byly černé dlaždice. Na každé straně čtverce, na prostřední bílé dlaždici stály dvě holky a dva kluci. Jeden z kluků, Pepík, držel míč. Naproti němu stál Honza, po stranách Katka a Jana. Zatím Tonda čekal v rohu mezi Janou a Pepíkem. Na povel Jany se Tonda vrhnul za míčem po bílých dlaždicích, jenže Pepík hodil míč Katce, Katka Honzovi... Přitom na jedno přehození míče potřebovali tolik času, kolik potřeboval Tonda na přeběhnutí pěti bílých dlaždic. Kolikrát si musely děti hodit míč, než ho chytil Tonda (tj. byl ve stejné chvíli na stejné dlaždici jako míč)?

Tu noc se musel Barnabáš vypořádat ještě s jednou událostí -- spadla na něj zelená slizká potvora. Nedokázala se pořádně udržet na střeše tramvaje, když ohryzávala a oslintávala její trolej. Ke všemu na Barnabáše namířila něco jako zbraň.

Úloha č. 3

Zbraň té obludy vypadala takto: Z krychle o straně 10 palců byla vyříznuta menší krychle tak, že horní podstava vyříznuté krychle by se dotýkala horní podstavy a boční hrany vyříznuté krychle by se dotýkaly bočních stěn velké krychle přesně v polovině mezi jejími bočními hranami. Do tohoto útvaru byl vlepen ještě podobný útvar (tvarem stejný, ale menší): dotýkal se „dolní podstavy vyříznuté krychle“ a jeho boční hrany se dotýkaly bočních stěn ve třetině vzdálenosti mezi bočními hranami vyříznuté krychle. Narýsujte pohled shora. Spočtěte povrch i objem celého útvaru.

To už Barnabáše rozčílilo, popadnul tu bestii za dva ocasy, zatočil s ní a vyhodil ji do vzduchu. Barnabáš si odplivnul leknutím a čekal, až ten kus zeleného slizu spadne na zem. Jenže nespadl. To ho překvapilo, ale řekl si pro sebe: „Aspoň se s ní nemusím otravovat.“ Uhladil si vlasy rukou a nasedl do své tramvaje. Zanedlouho na východě začalo už svítat, a tak se Barnabáš vydal k vozovně, aby umyl tramvaj a uklidil ji do suché haly.

Úloha č. 4

Půdorys vozovny má tvar deltoidu -- označme ho ABCD. Sestrojte ho v měřítku 1:10 000, jestliže víte, že body B, C a D leží na jedné kružnici, přímky AB a AD mají s touto kružnicí jediný společný bod, délka strany AD je 500 metrů a velikost úhlu BDA je 70\deg.

Poznámka: Deltoid je čtyřúhelník, v němž se rovnají délky dvou sousedních stran a zároveň se rovnají délky zbylých dvou stran.

Když další večer přišel do práce, našel u své skříňky povalovat se papír. „To zase bude nějaká vyhláška,“ zamručel v neblahé předtuše blížících se problémů. A taky že ano -- vyhláška zněla takto:

Drazí a blažení řidiči tramvají! Vedení společnosti Trolej & Výhybka, u které jste zaměstnáni a kterou jste tak výjimečně dobře opečováváni, se rozhodlo učinit další krok ke zlepšení pracovního prostředí svých zaměstnanců. Spojilo se proto s týmem Prof. Dr. Šnytlíka a výsledkem je mnoho vymožeností, které budou zaváděny v nejbližším časovém horizontu (nebo alespoň dostatečně blízkém). Doufáme, že tak ušetříme Vaše nervy a Váš čas.

S pozdravem

Jeremiáš Pantofel, ředitel společnosti Trolej & Výhybka

Za chvíli už se Barnabáš přiřítil do výpravny a ptal se přednosty Ruprechta Korbílka, co to má znamenat. Jenže Korbílek jen nešťastně a odevzdaně ukázal do rohu místnosti. Tam se cosi blyštilo.

„To jsou Ninetové hodiny,“ hlesl Korbílek, „každý si je má vzít do tramvaje.“

Ninetové hodiny vypadaly jako vyleštěná nerezová krabice, na kterou se pokoušel nějaký hodinářský učeň přidělat ciferník. Barnabáš to vzal mezi dva prsty. Uvnitř něco zachrastilo.

„Vždyť to má jenom devět čísel na ciferníku“ zhrozil se.

„To je v pořádku. Prý nám to ulehčí práci.“

„Vždyť to jde úplně jinak než normální hodiny“

„Správně. To má zajistit, aby ses neztratil v čase a snadno určil, kdy si máš dát svačinu,“ vysvětloval nepřesvědčivě Korbílek. Bylo vidět, že sám novým hodinám nedůvěřuje. Barnabáš vzal tedy hodiny a šel je umístit do své tramvaje. „Ty hodiny se spožďují o 4 hrcy za 6 šnytlíků. O půlnoci jsem je všechny seřídil.“

„Co je to hrc a... to druhý?“

„Na hodinách jsou údaje v hrcích a šnytlících. Jeden šnytlík je to samé jako dva a půl hodiny a dělí se na padesát hrců. Ciferník je devítišnytlíkový. Zpožďování bude odstraněno v další výrobní sérii.“

„Takže ty hodiny jsou úplně k ničemu,“ konstatoval Barnabáš.

„Vypadá to tak,“ odtušil Ruprecht.

Úloha č. 5

Kolik hrců a šnytlíků budou hodiny ukazovat zítra ve 14.28?

Jakmile Barnabáš přišel do kabiny tramvaje, zastrčil Ninetové hodiny pod sedadlo, aby nikde nepřekážely. Vyhodit je nechtěl, co kdyby se někdy po nich Prof. Dr. Šnytlík a jeho asistent, jak si domyslel, Hrc sháněli.

Venku situaci hodnotili další tramvajačka a tramvajáci -- Jana, Jáchym, Jasoň, Jakub a Jarka. Po jisté cenzuře jejich rozprava vypadá takto:

Jáchym: „Já bych do toho kopnul“

Jana: „Že ti to vůbec za kopnutí stojí. Já to strčím pod křeslo a šmitec! Co se s takovým krámem dá dělat?“

Jarka: „Hm.“

Jáchym: „Nechám to v první popelnici, kterou potkám.“

Jasoň: „Bejt tebou, tak si to radši nechám -- ještě pak udělaj nějakou hloubkovou kontrolu a co pak?“

Jarka: „Hm“

Jana: „Holky z vedlejší vozovny je normálně házely za jízdy z nábřeží do vody! Prej to šlo ke dnu jako blesk“

Jasoň: „To sou kecy, to jenom šířej některý drbny, aby ze sebe udělaly hrdinky. Když jsem ty tvý vrhačky viděl před hodinou, tak pečlivě opečovávaly svý Ninetový strojky jak mimina.“

Jarka: „Hm.“

Nakonec se nespokojený diskusní kroužek rozešel ke svým tramvajím.

Úloha č. 6

Jejich tramvaje stály vedle sebe. Jenže si najednou nemohli vzpomenout, kterou tramvaj mají řídit. Z rozpisu si zapamatovali toto:

  • Tramvaje Jarky a Jakuba stojí obě na okrajích, nebo na okrajích nestojí ani jedna.
  • Janina tramvaj stojí mezi tramvajemi linek 37 a 8.
  • Jarka a Jasoň mají řídit tramvaje na stejné lince.
  • Pokud stojí vedle sebe Tramvaje Jáchyma a Jakuba, stojí vedle sebe i obě tramvaje linky 42. Naopak, pokud vedle sebe Jakubova a Jáchymova tramvaj nestojí, ani tramvaje linky 42 nestojí vedle sebe.

Může Jarka řídit tramvaj na lince 42?

Další dva dny minuly bez pohrom. Ninetové hodiny se vozily zadarmo pod sedadly tramvajaček a tramvajáků a bylo slunečno a horko. Všichni se už vzpamatovali z nařízení a tramvaje v ulicích klidně pobrukovaly. Pak se ale staly ve dvou dnech dvě události, které se dotkly všech Městčanů. Tu první měli na svědomí vynálezci Šnytlík a Hrc: v tramvajích se vyměnily štípače jízdenek.

Úloha č. 7

Ale jaké to byly štípače jízdenek: mohly se v nich štípat dva druhy jízdenek -- jízdenky pro dospělé a zlevněné. Do všech tramvají byly nainstalovány dva různé štípače -- jeden typu Yngra a jeden typu Micre. První typ dokáže za dvě hodiny označit až 120 jízdenek pro dospělé a 80 zlevněných jízdenek. Typ Micre „je orientovaný na děti, žactvo, studenty, důchodce a další spoluobčany“ (jak se psalo v přiloženém dopise) -- tedy „je moderního designu, svěží, svítivě růžové barvy. Jeho součástí je i opora pro méně pohyblivé cestující. Má být umístěno 84,7521 cm nad zemí (měřeno od horního okraje dílu A4126b(vs7)).“ Výsledkem je, že tato nechutnost označí za 5 hodin teoreticky až 450 jízdenek.

Cestující označili při první Barnabášově směně od zavedení 780 jízdenek pro dospělé a 760 zlevněných jízdenek. Přitom štípač Micre byl 4 hodiny mimo provoz. Kolik zlevněných jízdenek označí Micre za hodinu? (Uvažujte maximální vytížení štípačů.)

Druhá událost byla na první pohled méně tragická, ale pozoruhodnější: V Městci za bílého dne, zrovna když se chystali Městčané dát si odpolední čaj nebo kávu nebo jiný nápoj, když se pomalu začali probouzet příznivci noci a kocouři se rvali o místo na zídce u továrny na klobouky, přistáli uprostřed Hlavního náměstí mimozemšťané.