Zadání 4. série 18. ročníku

Pikosobota proběhne dne 5. dubna 2003 od 10.00 do 15.00. Sraz je u východu stanice metra Nádraží Holešovice směrem k nádraží Praha-Holešovice (východ bez jezdících schodů).

Termín odeslání: 7. dubna 2003

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


Když se Starej Šed vzbudil, uvědomil si, že myslí na well-Blouda. Věděl, že v dřívějších dobách tato zvířata překonávala Velké Pustiny bez jakýchkoli obtíží, ačkoli ve Velkých Pustinách jste nenašli nikdy nic, co by se mohlo stát vaší kořistí. Tudíž dvě třetiny výprav napříč Pustinami skončily smrtí hladem. Zbývající třetina se naopak stala kořistí. Hadů, supů, pouštních lvů a škorpiónů. Nikoli však well-Bloudi. Ti bloudili správně. Mohli chodit sami tam a zpátky napříč Pustinou a jediné, co potřebovali, byla pořádná porce banánů před cestou. Šeda dost překvapilo, že tento téměř vyhynulý druh se ukrývá na zahrádce paní Kamak-sovy.

Totiž, to máte tak. Babočkův poklad byl sice na ostrově, ale ne na nějakém obyčejném ostrově. On to patrně ostrov vůbec nebyl. Akorát byl kolem dokola obklopen mořem. A sice Mořem Pustin. A Starej Šed měl v sobě stále ještě duši desperáta a dobrodruha. Teď, když věděl, že existuje způsob, jak poklad vyzvednout, začal spřádat plán.

Vyrazit na cestu mohl ovšem nejdříve o prázdninách. Začal počítat dny, které do prázdnin ještě zbývaly, aby věděl, kolik času má na přípravu cesty.

Úloha č. 1

Starej Šed zjistil zajímavou věc. Do prázdnin zbývalo přesně tolik dnů, kolik je osmiciferných čísel dělitelných 45, v jejichž (desítkovém) zápisu se vyskytují pouze číslice 5, 6 a 7. Kolik dnů mu tedy do prázdnin zbývá?

Potom Šed vyrazil do školy; měl akorát čas, aby se zvoněním vešel do třídy. Zavolal si k sobě Makse s Kamse a zbytek třídy nechal řešit následující úlohu.

Úloha č. 2

Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li dáno: součet úhlopříček e+f měří 16 cm a úhel u vrcholu A má velikost 60\deg. Jak byste při řešení postupovali vy? Popište postup konstrukce a kosočtverec zkonstruujte.

Všichni tři vyšli společně na chodbu. „Měl bych k vám dvěma takovou prosbu ...“ začal nejistě Starej Šed. „Potřeboval bych na prázdniny vašeho well-Blouda, myslíte, že by byl ochotný se se mnou vypravit do Pustiny? A -- půjčíte mi ho?“

Maks si vzpomněl, jak na well-Blouda dvakrát denně dohlíží, aby neokousal, co nemá, a Kams si představil, jak well-Blouda hlídá, jestli se dostatečně napase a nepoplive přitom mamince tulipány. Pak si oba uvědomili, že ho musí hlídat spolu, a začali nadšeně kývat hlavami, že Šedovi well-Blouda půjčí. „Akorát se budete muset zeptat ještě well-Blouda, jestli se mu s vámi chce, poslední dobou je dost zahořklý,“ vzpomněl si nakonec Kams. Pak se do třídy vrátili. Starej Šed měl lepší než výbornou náladu a tak se začal trochu předvádět.

Úloha č. 3

„Představte si,“ řekl žákům, „napíšu na tabuli číslo 112 500. A teď škrtnu jeho první cifru.“ Rozhlédl se po třídě a udělal ukázkovou dramatickou pauzu. Pak škrtl první číslici a pokračoval: „Co se stane?“

„Devětkrát se zmenší,“ prohlásil Fido.

„Správně,“ usmál se Šed na svého nejbystřejšího žáka. „A teď zkuste pro změnu vy najít všechna ostatní šesticiferná čísla, která se po škrtnutí první číslice devětkrát zmenší, a až je budete mít, skončíme, musím si totiž ještě cosi zařídit...“ Kolik je takových čísel?

Hned po obědě vyrazil Šed za well-Bloudem. Cestou se ještě stavil u Ob-chodníka, aby koupil dárek pro paní Kamak-sovu. Byl si jistý, že se mu tak podaří ji i well-Blouda snadněji přemluvit k účasti na honbě za pokladem. Dlouho vybíral, až narazil na dvoubarevný hedvábný šátek s netradičním indiánským vzorem a hned věděl, že je to přesně ta věc, kterou hledá. Ob-chodníkova cena za dvoubarevný hedvábný šátek byla opět pomoc s nelehkým úkolem:

Úloha č. 4

Ob-chodníka zajímá, jakou průměrnou rychlostí jezdí každý z jeho dvou synů, kteří pro něj pracují jako obchodní cestující. Oba synové měli velmi dobré koně a do Lasttownu nebo ven se vypravovali asi jednou za 20 let, ale i tak chtěl mít Ob-chodník přehled. Vzdálenost Lasttownu od Vorlasttownu je 1400 mil. Druhému ze synů trvá překonání této vzdálenosti o 30 dnů déle než prvnímu. Jaká je průměrná rychlost každého ze synů, pokud je rozdíl těchto rychlostí 15 mil za den?

Šed se nikdy nenechal odradit žádnou překážkou. A ani tato úloha ho neodvedla od jeho pravého záměru. Šedova posedlost pokladem byla větší než pozdější zlatá horečka na Aljašce. Po čtvrt hodině řekl Ob-chodníkovi obě průměrné rychlosti a vzal si od něj šátek pro paní Kamak-sovu. Vlastně mohl říct cokoli, Ob-chodník nevypadal, že je schopný ověřit správnost výsledku...

Úloha č. 5

Šátek se skládal z 36 stejných obdélníků. Každý z nich vypadal jako je ten na obrázku. Byl složen ze dvou čtverců o délce strany a. Měl na sobě krásný vzor, který byl ohraničen půlkružnicemi se středy ve středech delších stran obdélníku a poloměry rovnými a, kruhem se středem ve středu obdélníku a poloměrem a\over2 a půlkruhem se středem v jedné čtvrtině delší strany obdélníku a poloměrem a\over2. Spočítejte obsah plochy šátku, kterou vzor (tmavé obrazce na obrázku) pokrývá. Úlohu řešte nejprve obecně a potom pro a rovno dvěma palcům.

Šed se přivítal s paní Kamak-sovou a nechal se pozvat na čaj. Obezřetně a pomalounku začal paní Kamak-sovu zasvěcovat do svých plánů a ve vhodném okamžiku jí předal dvoubarevný hedvábný šátek. Byla nadšená a protože v létě taky měla prázdniny, rozhodla se, že Šeda doprovodí... no, nadšený Šed vůbec nebyl. Zpočátku se jí její úmysl snažil rozmluvit, ale pak se uznal její převahu a rezignoval. Pro paní ve středním věku, která jen čeká, až se nachomýtne nějaké to dobrodružství, je hledání pokladu za Mořem Pustiny jako déšť na poušti. „Půjdeme se hned přeptat well-Blouda,“ nadšeně se rozběhla ke dveřím.

Well-Bloud nazlobeně plival. Poslechl si jejich návrh a otevřel tlamu. Vyplivl šťovík. Ostrým pohledem si Šeda přeměřil. Nakonec ze sebe vypravil: „Mám podmínku.“ Odmlčel se a pak pokračoval.

Úloha č. 6

„Mám tady jeden takový hlavolam, na který nemohu přijít. Už šest let mi to otravuje život.“ Well-Bloud vytáhl přední nohou zpod velkého kamene dřevěnou destičku, na níž byl vyrytý obrazec, jako vidíte obrázku. „Tvým úkolem je do jednotlivých kroužků vepsat osm různých přirozených čísel tak, aby součiny čísel ve všech třech vrcholech každého ze čtyř trojúhelníků i součin čísel ve vrcholech čtverce byly stejné. Použitá čísla musí být co nejmenší a jedno z nich je 7.“

Well-Bloud zase začal žvýkat šťovík. Když zjistil, že ho Šed stále ještě sleduje, dodal: „Až se ti to povede, rád tě převedu přes Moře Pustin až k Babočkovu pokladu, bude to snadné, už jsem tam několikrát byl.“ A pak zase zmlkl a otočil se k nim zády a dělal, jako by se vůbec nic neobvyklého nedělo. Jak byste splnili well-Bloudovu podmínku vy? Nezapomeňte postup řešení vysvětlit.

Paní Kamak-sova měla obrovskou radost. Vždyť well-Bloud řekl po šesti letech mlčení celých 47 slov! Šed měl taky velkou radost. Začal se na výpravu těšit ještě mnohem víc. Protože už se začínalo stmívat, rozloučil se a vydal se na cestu k domovu. Večer snadno vyřešil well-Bloudův úkol. A protože samým štěstím nemohl usnout, otevřel ještě knihu hádanek a vyřešil ještě další problém.

Úloha č. 7

Proč je v libovolném rovnoramenném trojúhelníku ABC (se základnou AB) součet vzdáleností libovolného bodu základny od přímek jeho ramen (AC a BC) stále totéž číslo? Řádně zdůvodněte!