Zadání 2. série 18. ročníku

Pikosobota proběhne dne 18. ledna 2003 od 10.00 do 15.00. Sraz je u východu stanice metra Nádraží Holešovice směrem k nádraží Praha-Holešovice (východ bez jezdících schodů).

Termín odeslání: 20. ledna 2003

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


Starej Šed si v Lasttownu rychle zvykl, dokonce si i našel práci. Rozhodl se učit v místní škole a Šerif mu to rád umožnil, neboť tajně doufal, že žáci k Šedovi budou mít respekt. Minulá paní učitelka skončila naprostým fiaskem, ale ostřílenému zálesákovi, jako je Šed, by se něco takového stát určitě nemělo.

Úloha č. 1

Šed si brzy všiml, že mezi jeho dvaceti osmi svěřenci panuje dost divná nálada. Vztahy ve třídě nebyly dvakrát nejlepší, ale taky ne lhostejné. Každý žák se má s každým svým spolužákem rád, anebo ho nenávidí. Přitom každý žák nenávidí právě šest spolužáků. Kolik nejvíce může být ve třídě takových trojic žáků, kteří se buď všichni navzájem nenávidí, anebo se všichni navzájem mají rádi? Své tvrzení zdůvodněte!

Aby své žáky trochu odvedl od jejich věčných sporů, začal jim Šed vyprávět o svém předchozím životě, o tom, jak se dostal do Lasttownu a proč se rozhodl zůstat. Vyprávět Šed opravdu uměl, a vlastně si občas i trochu vymýšlel, ale o to byl jeho příběh zajímavější. Posuďte sami...

„To mě jednou Ob-Ejda najal, abych polapil a přivedl Velkého Johnyho. Velký Johny byl nejúspěšnějším bankovním lupičem své doby, nikdy ho nikdo nechytil. Nejprve jsem musel zjistit, kde se Johny schovává. Proto jsem zašel do vězení, kde tou dobou seděl jeho bývalý komplic Babočka. Vypadal nezištně, takže podplácet nešlo. Slibovat, že ho dostanu ven, taky nemělo smysl, vždycky totiž bezpečně poznal, když někdo blafuje. Naštěstí měl ale problém, který neuměl vyřešit.“

Úloha č. 2

„Babočka měl u sebe mapu ostrova s pokladem. To jsem ovšem musel vydedukovat, protože by mi to nikdy neřekl. Všechno, co po mně chtěl, bylo, abych mu nakreslil trojúhelník, když znám dva jeho vrcholy a střed kružnice vepsané. No a když jsem mu ho nakreslil, celý se rozzářil a nadmíru ochotně mi sdělil, že Velký Johny je u Ledtajícího jezera.“ A co vy? Jak byste našli třetí vrchol trojúhelníku, který označuje místo s pokladem?

„Cesta k Ledtajícímu jezeru byla náročná a nebezpečná. Musel jsem před odjezdem nakoupit spoustu věcí. Ale ve městě Uledu bylo náročné i nakupovat. Byl tu sice Jeden-Ob-Chod, kde měli všechno požadované zboží, ale vůbec to ještě neznamenalo, že je dostanete.“

Úloha č. 3

Částka požadovaná za cokoli, co jste potřebovali v Jednom-Ob-Chodě koupit, byla vámi libovolně určena. Ale musela být součtem dvou prvočísel, jejichž rozdíl je 2, a zároveň libovolné dvě věci, které jste chtěli koupit, musely mít různou cenu. Kolik zaplatil Starej Šed za náboje, Dobryrum, deku, koně, laso, Celymed a konzervu, když chtěl zaplatit co nejméně? Jaké byly ceny těchto sedmi položek?

„Nakonec jsem ale k Ledtajícímu jezeru šťastně a hlavně nepozorován dorazil,“ usmál se Šed. „Věděl jsem, že se Velký Johny schovává někde poblíž Velké jeskyně, anebo přímo uvnitř, ale nevěděl jsem, kde přesně.“

Úloha č. 4

Velká jeskyně měla čtvercový půdorys. Starej Šed nakonec zjistil, že Velký Johny je právě na takovém místě, jež může být středem kružnice, která protíná strany tohoto čtverce v osmi různých bodech. Kde všude má Starej Šed Velkého Johnyho hledat?

„Když jsem Velkého Johnyho dopadl, dal jsem mu poslední šanci. To já prostě z nějakého důvodu dělám vždycky. Kdykoli jsem chytil nějakého zločince, dal jsem mu hádanku s tím, že když ji správně vyřeší, nechám ho jít. Za svůj život jsem pustil pouze dva. Snad kvůli této mé zálibě v hádankách se mi v Lasttownu tolik líbí.“

Úloha č. 5

Velký Johny měl za úkol najít druhé nejmenší takové číslo, které po dělení 10 dává zbytek 9, po dělení 9 zbytek 8, po dělení 8 zbytek 7 atd. až po dělení 2 zbytek 1 a po dělení 1 zbytek 0. Které je to číslo?

„No a právě Velký Johny byl druhý desperád, kterého jsem se kdy rozhodl pustit. To ovšem znamenalo nesmět se už nikdy ukázat Ob-Ejdovi na očích. Proto jsem vyrazil na západ, nedbal jsem hrozivých Skalisek a nevadilo mi, že odtamtud, kam jdu, se nikdo nikdy nevrátil.“ Šed dokončil své vypravování, zadal dětem následující úkol a pustil je domů.

Úloha č. 6

Najděte cestu, která splňuje následující podmínky. Je možné začít v libovolném čtverci, ale ve stejném čtverci je nutné i skončit. Cesta se jinak nesmí nikde křížit a musí projít každým čtvercem právě jednou. Pohybovat se je možné pouze vodorovně nebo svisle (nikdy ne úhlopříčně). Každé druhé zatočení cesty musí být ve čtverci, který obsahuje kolečko (to znamená, že nesmějí být dvě sousední zatočení v kolečkách ani dvě po sobě jdoucí zatočení mimo kolečka), a zároveň v každém čtverci s kolečkem musí cesta zatáčet.

Maks a Kams sbalili věci a vydali se domů. Byli dvojčata, ale patřili mezi ty dvojice žáků, kteří se vzájemně nenáviděli.

Úloha č. 7

Proto nešli spolu, ačkoli nebydleli přímo v Lasttownu, ale až na Od-lehlé-farmě. Cesta byla dlouhá 6 mil. Kams šel polovinu cesty rychlostí 4 míle za hodinu a druhou polovinu rychlostí 2 míle za hodinu. Naproti tomu šel Maks rychlostí 4 míle za hodinu polovinu času, který potřeboval na cestu domů, a druhou polovinu času šel rychlostí 2 míle za hodinu. Který z nich byl dřív doma a o kolik minut?