Zadání 5. série 16. ročníku

Pikosobota proběhne dne 31. března 2001 od 10:00 do 15:00. Sraz je u východu stanice metra Nádraží Holešovice směrem k nádraží Praha-Holešovice (východ bez jezdících schodů).

Termín odeslání: 2. dubna 2001

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Amadeus s Bedřichem mají za úkol donést (zřejmě důležitý) dopis od slečny učitelky mladému profesoru Ludvíku-Vanovi. Právě stojí před dveřmi jeho pracovny.

Amadeus si odkašlal, Bedřich se nadechl a zaklepal na dveře. Ozvalo se: „Dále.“

„Dobrý den, my jsme ...“ pokusil se začít Amadeus.

„Áá, to jste vy? Posaďte se třeba támhle. Máte papír? Aha tady.“

Úloha č. 1

Rozsazování při zkouškách a písemkách je vždycky problém. Profesor chce rozsadit 25 žáků do třídy, ve které je 5 řad po pěti lavicích. V každé lavici sedí jeden žák. Písemka má celkem pět skupin. Lze rozsadit žáky tak, aby žádný z nich neměl před sebou, za sebou, vedle sebe ani šikmo vedle sebe nikoho se stejnou skupinou a navíc v každé řadě i sloupci nebyli dva žáci se stejnou skupinou?

„My jsme přišli, jak asi víte ...“

„Ano, takže vy dostanete: Srovnání pětiřadových destikuličkových počitadel a dvanáctiřadových pětiabových abakusů ...“ Napsal zadání zkoušky před zmateného Bedřicha. „Copak, je něco nejasného?“

„My jsme vám tady přinesli ...“ snažil se Amadeus vysvětlit účel jejich poslání a ukázal obálku, kterou přinesli. Bedřich si ze zoufalství začal vzpomínat na vše, co věděl o dvanáctiřadových abakusech.

Úloha č. 2

Kuličky na pětiřadové desetikuličkové počitadlo stojí 7 omnipoliských korun a kuličky na dvanáctiřadové pětiabové (to je totéž jako pětikuličkové) abakusy stojí 8 omnipoliských korun. Potřebujeme počitadla a abakusy, na kterých bude aspoň 810 kuliček. Jak nejlevněji je máme nakoupit? Poznámka: Pětiřadové desetikuličkové počitadlo je takové, které má v každé z pěti řad 10 kuliček.

„Ajoj. Tak to bychom si nerozuměli, přátelé, tady nejste na právnické fakul ...“

„Ale nééé,“ poněkud neslušně mu skočil do řeči Bedřich, my vás nechceme podplatit, my jsme z Euklidovy Základní a donesli jsme vám od naší slečny učitelky dopis. Tohle všechno řekl Bedřich jedním dechem.

Úloha č. 3

Bedřich má opravdu mocný dech. Když nafukuje balónek, přifoukne každým dechem stejný objem vzduchu (objem balónku se o tento objem zvětší). Povrch balónku je po šestnáctém vdechnutí o 150 op^{2} větší, než po druhém vdechnutí. Jaký je objem vzduchu, který Bedřich přifoukne při každém vdechnutí? Poznámka: Balónek má tvar koule a na začátku je prázdný. Objem koule, jejíž poloměr je r, spočítáme podle vzorce V = 4\over3 \pi r^{3}, její povrch je pak S = 4 \pi r^{2}.

„Aha, tak vy nejdete na zkoušku?“ podivil se Ludvík-Van. „Vlastně ano, zkoušku mám domluvenou na středu a dnes, zdá se, je,“ na chvíli zaváhal a pak vyhrkl: „Pátek“.

„Pondělí,“ pokusil se nesměle oponovat Amadeus. Panu profesoru se rozjasnila tvář „Ajo. Tak proto jsem se včera nemohl dostat do MIMO, už jsem si myslel, že se vrátný připojil ke stávce stavitelů pyramid.“ Usmíval se nad tím, jak krásně se to vysvětlilo.

Úloha č. 4

V době, kdy začala stávka, zbývalo do ukončení stavby pyramidy 80 dní. Stávka již trvá patnáct dní. Stavitelé stávkují za zvýšení hodinové mzdy ze 30 omnipoliských korun na 40 omnipoliských korun. Pokud by byly jejich požadavky vyslyšeny, budou pracovat o pětinu rychleji, tedy stihnou ji postavit za dobu o pětinu kratší. Panovník se rozhodl zvýšit celkové výdaje na mzdy stavitelů o 7 procent. Ukončí stavitelé stávku? Stihne se pyramida postavit v plánované době?

„Ajo. Takže, kde jsem to přestal?“ vytrhl sám sebe ze zamyšlení Ludvík-Van a pohlédl na papír se zadáním Bedřichovy zkoušky. „Ajo. Hmm ... a přiberte si tam i moderní bezkuličkové ...“

„Dopis,“ sykl Amadeus a nervózně zatřásl růžovým dopisem.

„Ajo, vlastně,“ udeřil se do čela profesor a vzal si od Amadea dopis. Na to, že byl profesorem, byl velmi mladý, ale na to, jak byl mladý, byl velmi roztržitý.

Úloha č. 5

Když si profesor opisoval výsledek ze svého počitadla, tak napsal ve své roztržitosti první číslici na konec místo na začátek. Jaké je nejmenší celé kladné číslo s následující vlastností? Přesuneme-li první číslici na konec desítkového zápisu tohoto čísla, dostaneme tak číslo, které má stejně cifer a je třikrát větší než původní číslo.

Ludvík-Van si četl dopis. Chvílemi se usmíval. Když dočetl, zarazil se, podíval se na kluky, chvíli přemýšlel, a pak řekl: „Vyřiďte slečně učitelce, že ohledně těch nových počitadel se můžeme dohovořit zítra večer, to je ve čtvrtek, na známém smluveném místě.“

Úloha č. 6

Morový sloup M, střed velké pyramidy S a Euklidova Základní E tvoří na mapě rovnostranný trojúhelník. Smluvené místo X leží uvnitř trojúhelníku a to tak, že poměry obsahů trojúhelníků MSX, EMX a ESX jsou 1:2:3. Zkonstruujte bod X.

„Úterý,“ podotkl Amadeus, který jaksi s profesorem komunikoval už jen v jednoslovných větách.

„Ajo, úterý. To je zajímavé, pořád mám dnes dojem, že je dneska středa,“ řekl profesor a zadumaně zmačkal papír se zadáním zkoušky. Bedřich si oddechl. „Už jste někdy viděli počitadlo s kuličkami na magnetickém polštáři?“ změnil raději Ludvík-Van téma.

„No teda, řeknu ti Bedřichu, stálo to za to. Máme odpuštěné jedno zkoušení ze zpěvu a navíc nám Ludvík-Van ukázal takových zajímavostí, že se z toho nemohu vzpamatovat ještě teď,“ liboval si Amadeus, když se k večeru vraceli z Matice Ilegální Matematiky Omnipoliské.

„Třeba ta promyšlená sada závaží na vážení celočíselných hmotností od 1 og do 100 og.“ (pozn. pod čarou: Značka og znamená omnipoliský gram.)

Úloha č. 7

Kolik nejméně je potřeba závaží, máme-li odvážit libovolnou celočíselnou hmotnost od 1 og do 100 og a můžeme-li mít několik závaží stejné hmotnosti? Všechna závaží klademe

  • a) vždy na jednu misku vah,
  • b) na obě misky vah.

„Nebo sledovals jak určoval kořen kvadratické rovnice bez vzorečku?“ (pozn. pod čarou: Pokud má rovnice ax^{2} + bx + c = 0 (a, b, c jsou celá) racionální řešení x = p \over q, pak musí q dělit a a p dělit c. Speciálně, když a=1, tak (pokud existuje) kořen musí dělit c. Hledáme-li kořen rovnice x^{2}-4x+3=0, vyzkoušíme x=1,-1,3,-3 a ejhle, kořeny jsou x_{1}=1 a x_{2}=3.)

„Nojo, ale to nemůžeš použít vždycky,“ opáčil Amadeus.

„No tedy, až tohle budu vyprávět ...“ Bedřich se nějak zarazil a pak nejistě pokračoval: „... ehm tedy, až tohle budu někomu vyprávět, to mi snad ani nebude věřit.“

„Až tohle budeš někomu vyprávět, tak jí vyřiď, ať se naučí počítat se složenými zlomky, při poslední písemce měla jen deset bodů z patnácti,“ posmíval se Amadeus.

„No počkej, to ti pěkně spočítám,“ zavolal Bedřich a vrhl se na Amadea. Inu kluci.