Zadání 2. série 16. ročníku

Pikosobota proběhne dne 16. prosince 2000 od 10:00 do 15:00. Sraz je u východu stanice metra Nádraží Holešovice směrem k nádraží Praha-Holešovice (východ bez jezdících schodů).

Termín odeslání: 18. prosince 2000

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Amadeus s Bedřichem byli dobří kamarádi, žili ve městě Omnipolis, jezdili do školy, kde se ze všeho nejvíce těšili na hodiny matematiky (jak jinak). Právě teď se pomalu šourali do kabinetu slečny učitelky, která si je pozvala na kobereček. Ten kobereček znali Amadeus s Bedřichem velmi dobře, skoro bychom mohli říci důvěrně.

Úloha č. 1

V obdélníkovém koberečku ABCD o stranách 60 op a 40 op označme patu kolmice vedené z bodu D na úhlopříčku AC písmenem E. Určete obsah trojúhelníku CDE.

Abychom řekli pravdu, znali i koberec, lichoběžníkový kobereček pana ředitele.

Úloha č. 2

V lichoběžníku platí, že delší základna má délku 60 op, ramena jsou dlouhá 50 op a 60 op a výška měří 48 op. Jaký je jeho obsah?

Abyste si zase nemysleli, že Amadeus a Bedřich jsou nějací rošťáci. Vůbec ne. Byli pouze podnikaví a navíc měli smůlu.

Někdy dokázali při kárání slečny učitelky sledovat zajímavé vzory na koberci i celou hodinu. Mezitím, co lamentovala, mohli se (vcelku nenápadně) věnovat například počítaní počtu různých trojúhelníků.

Úloha č. 3

Kolik různých trojúhelníků je vyznačeno na obrázku?

Tak dneska ten kobereček uvidí znova. Jenom kvůli tomu, že Amadeus, když se učil lidovou píseň, hodil svoji panotofli po Bedřichovi.

„Kdybych se byl alespoň trefil,“ zabědoval Amadeus.

Úloha č. 4

Pantofle, kterou hodil Bedřich po Amadeovi, přistála za 3 omnipoliské sekundy. Amadeus ji hodil po Bedřichovi zpátky právě ve chvíli, kdy Bedřich hodil druhou pantofli. Amadeus ji ovšem hodil rychlostí 120 op/os, která byla sice větší než rychlost, kterou pantoflí hodil Bedřich, ale ne víc jak dvakrát větší. A tak ve chvíli, kdy byl Bedřich zasažen, byla druhá pantofle 80 op od Amadea. Jaká byla vzdálenost mezi oběma hochy?

Předpokládejte, že se pantofle pohybují konstantní rychlostí přímočaře a že Bedřich hodil obě pantofle stejnou rychlostí.

S těmito úvahami došli až ke dveřím kabinetu, ve kterém sídlila slečna učitelka. Před dveřmi stála plastika jehlanu zalitého ve skleněné kouli, která měla symbolizovat průzračnost myšlení a ostrost vědění. (Mimochodem: byla dosti zaprášená.) Na dveřích bylo napsáno: Kabinet slečny učitelky, nepovolaným vstup zakázán, klepat.

Úloha č. 5

Kolmý jehlan má podstavu o tvaru obdélníka o stranách 20 op a 15 op a výšku 18 op. Kde se nachází střed koule jemu opsané?

Amadeus se začal klepat, Bedřich si zaklepal na čelo a pak na dveře. Opatrně otevřeli.

Slečna učitelka se dívala z okna a zpívala si: „Včera neděla byla, za týden bude zas...“

„Pondělí,“ odtušil Bedřich.

Paní učitelka sebou trhla. „Cože?“ vyprskla a vyrobila obličej, jaký může vytvořit jen člověk přistižený při tom, že se kouká z okna a zpívá si cosi o neděli.

„Když včera byla neděle, musí být za týden pondělí. Slečno učitelko, vždyť se Amadeus ani netrefil,“ přešel Bedřich hned k věci.

Úloha č. 6

Se dny v týdnu byly v Omnipolisu vždycky problémy. Omnipoliský císař Petr J. Olympický si neustále stěžoval, že mu schází osmý den. Přidal tedy k sedmi dnům (pondělí, úterý, středě, čtvrtku, pátku, sobotě a neděli) ještě osmý den: osmělí. A když už měnil počet dnů, změnil i pořadí dnů v týdnu. Přitom však zůstalo zachováno několik vlastností našeho týdne:

  • 1. Neděle je poslední den v týdnu.
  • 2. Pondělí je v týdnu před úterým a úterý před čtvrtkem.
  • 3. Pokud je dnes sobota, za pět dní bude čtvrtek.
  • 4. Pokud je dnes pátek, zítra bude sobota.
  • 5. Mezi pondělím a nedělí není osmělí.
  • 6. Pokud je dnes středa, tak pondělí bylo před tolika dny, za kolik je pátek.

Škoda, že se kalendář neujal. Jak vypadal týden za vlády Petra J. Olympického?

„Navíc ta pantofle je pletená, od mé babičky, takže nikoho nemůže zranit, je naprosto bezpečná.“

„A bylo to výhradně mezi námi. Žádnou třetí osobu ani její majetek jsme neomezili ani neohrozili,“ doplnil hbitě Bedřich. Mezitím se stihl Amadeus nadechnout.

„A taky jsme při tom objevili krásnou úlohu, která je ukryta v písničce o columbě. Představte si, že by columba letěla přímočarým míli dlouhým...“

„Tiše“ musela zakročit slečna učitelka.

„A jde to řešit i bez goniometrických funkcí,“ měl připraveno v zásobě Bedřich jako největší trumf jejich společné řeči na obhajobu házení pantoflí.

„To jste celí vy. Když vám někdo řekne, na kolik nul končí číslo sedm krát šest krát pět a tak dál až krát jedna, hned to začnete řešit pro 777.“

Úloha č. 7

Kolika nulami končí číslo 777\cdot776\cdot\cdots\cdot2\cdot1?

„To Amadeus má ve zvyku úlohy zesložiťovat a já je pak musím řešit,“ pomyslel si Bedřich.

„Ale o tom jsem vůbec nechtěla mluvit. Mám pro vás důležitý úkol, který ...“