Zadání 4. série 11. ročníku

Termín odelslání: 20. května 1996

Adresa:11

Jednoho dne král Piko seděl za svým oblíbeným psacím stolem se svou oblíbenou dřevěnou tužkou nad oblíbeným papírem a vzpomínal na své mládí. To bývaly časy: tolik nevyřešených úloh a matematických problémů. Vzpomíná si na jedno téměř dobrodružství, když jel do sousedního království žádat o ruku nynější královnu, tehdejší princeznu Jasmíru.

Mezi Pikovým a Jasmířiným královstvím fungovala pravidelná dostavníková doprava. Každou celou hodinu vyjížděl z Pikogradu do Jasmírova jeden dostavník a cesta mu trvala 5 hodin. Princ si koupil poloviční lístek do druhé třídy (tehdy to byl ještě student a ti jsou jak známo povětšinou chudí). Když vyjížděli, všiml si, že právě přijíždí dostavník z Jasmírova, řekl si tedy, že cestou spočítá všechny dostavníky, které potkají.

Úloha č. 0:

(ne pro 8. a 7. třídy)

Kolik dostavníků princ Piko napočítal? (předpokládejte, že potkával pouze dostavníky na lince Jasmírov-Pikograd).

Cesta v dostavníku je dlouhá, počítat princ Piko mohl klidně i levým okem a pravým se pohodlně mohl dívat po spolucestujících. Jedinými spolucestujícími byl sedlák se svým věrným papouškem Faktorijem. Faktorij si neustále drmolil nějaká čísla, a tak se princ Piko sedláka zeptal, co to vyvádí.

„Ale to je taková hra, kterou ho naučil můj prapra...praděd těsně po tom, co se Faktorij narodil: nejdřív si opakuj jedničku, a v den svých narozenin ji vynásob svým stářím. Toto číslo si opakuj po zbytek roku a při dalších narozeninách je zase vynásob svým stářím a tak pořád dokola. Tento rok počet nul na konci toho čísla vyrostl už na 31

Princ Piko se podivil: „To už je starý papoušek, vždyť mu je už ... let“

Úloha č. 1:

Jak je starý papoušek Faktorij?

Sedlák viděl, že Piko je moudrý, a proto ho požádal, zda by mu nepomohl: Má trojúhelníkové pole, chce na něm zaset žito, pšenici, ječmen, oves a proso. Nejraději by byl, aby to vypadalo jako na obr. 1, ale zároveň by každá obilnina měla mít stejnou plochu jako kterákoliv z ostatních.

obr. 1

Úloha č. 2:

Jak mohl princ Piko sedlákovi poradit?

Konečně se princ dostal až k hradu, kde bydlela princezna Jasmíra. Stál zde však dlouhý zástup nápadníků. Bylo jich hodně (víc než tisíc a půl), ale méně než dva tisíce. Vtom komoří vyhlásil, ať se všichni postaví do řady, a že všichni, co stojí na lichých místech, půjdou domů, a z těch zbylých zase ti liší půjdou domů a tak dál, až zbude jeden člověk a ten se může dneska ucházet o princeznu.

Úloha č. 3:

Kolikátý se má postavit princ Piko, aby měl jistotu, že nepůjde domů?

„Výborně, milý Piko“, řekl komoří (nevěděl, že Piko je vlastně princ), to ale neznamená, že jsi princeznu dostal za ženu. Musíš nejprve vyřešit tři úkoly. Dneska jsou na řadě mapy.

Za prvé: tady je ještě nedokreslená mapa. Jsou na ní pouze poledníky a rovnoběžky a vesnice Střední Lhota. Ta leží mezi padesátou a šedesátou rovnoběžkou. A teď přesně zakreslíš Horní a Dolní Lhotu. Tady jsou nějaké informace:

  1. Horní Lhota je položena o něco východněji než Střední.
  1. Horní Lhota leží přesně na šedesáté rovnoběžce
  1. Dolní Lhota leží přesně na padesáté rovnoběžce
  1. Horní Lhota je od Dolní stejně vzdálená jak Dolní od Střední a taktéž Střední od Horní (tj. Lhoty tvoří vrcholy rovnostranného trojúhelníka).

Úloha č. 4:

Navrhněte postup, jak přesně pomocí pravítka (bez měřítka) a kružítka vyznačit na mapě Horní a Dolní Lhotu.

Poznámka: Nutno podotknout, že v té době byla Země ještě placka, proto uvažujte mapu jako rovinu a rovnoběžky jako přímky. (I když jistě ze zeměpisu víte, že ve skutečnosti to jsou kružnice.)

Komoří se nestačil divit, jak to princ Piko ladně zvládl. Ale zkouška pokračovala:

Za druhé: „V našem království vedou z každého města maximálně 3 cesty. Skrz království protéká řeka Plazivka (ta rozděluje království na dvě části). Přes Plazivku vedou dva mosty, které spojují tyto dvě části dvěma cestami. Chci, abys na mapě obarvil města třemi barvami tak, aby žádná dvě sousední nebyla obarvena stejnou barvou. (Města jsou sousední, právě když mezi nimi vede přímá cesta).“

Piko řekl: „Chá, už teď vím, že se mi to podaří!!!“

Úloha č. 5:

Jak mohl princ Piko vědět, že se mu to podaří, ještě dříve, než spatřil mapu?

(Jestli se vám to nepodaří zjistit, zkuste to alespoň pro případ, že v království je jen jeden most. Nebo že třeba víte s jistotou, že v království alespoň z jednoho města vycházejí pouze dvě cesty. Popřípadě že království má jen dvanáct měst. Každý dobrý nápad bude hodnocen.)

A opravdu mapu hravě obarvil. Komoří tedy zadal třetí úkol.

Za třetí: „Naši tři tajní zvědové se vydali do neznámé země, aby ji zmapovali. Bylo domluveno, že města nezakreslí tak jak jsou ve skutečnosti, aby nedošlo k prozrazení poslání. Jen si nakreslí tečky jako města a ty pak spojí čarami podle toho, zda mezi městy je cesta nebo ne. Každý zvěd však přinesl jiný obrázek (viz níž). Zjistili jsme však, že jeden zvěd byl odhalen a podplacen, aby nám dodal schválně špatnou mapu. Který to je?“

Úloha č. 6:

Co řekl princ Piko, předpokládáme-li (jako vždy), že jeho odpověď byla správná?

Poznámka: Křížení u prvního obrázku neznamená, že se tam cesty kříží ve skutečnosti. V této zemi ve skutečnosti není žádná křižovatka mimo město (na místě křižovatky by totiž, vzhledem k obchodní výhodnosti, ihned vzniklo nové město a to by bylo zaznačeno tečkou).

Poznámka: Nestačí říct proč je jedna mapa jiná od ostatních, ale je nutné říct, proč jsou zbylé dvě stejné.

Princezna uviděla v Pikovi toho pravého a dala mu poslední úkol. I když věděla, že to bude jen formalitka.

„Zde je 9 pokladen Matrjošek. Jsou očíslovány čísly 19 podle velikosti a v té nejmenší je uložena čokoláda. Nejmenší pokladna je uložena ve větší, ta v ještě větší a tak dále. Na každé pokladně je napsán letopočet 1 9 9 6 . Před první číslicí a mezi číslicemi je místo, kam lze vepsat znaménka plus, mínus, krát, děleno nebo odmocnítko (znamená druhou kladnou odmocninu). Když je tam napíšeš tak, aby výsledek byl shodný s číslem pokladny, pokladna se otevře.

Mohl bys mi prosím dát tu čokoládu?“

„Ale jistě,“ řekl Piko a vytáhl svoji oblíbenou tužku. A už otvíral jednu pokladnu za druhou.

Úloha č. 7:

(ne pro 8. ročník)

Uměli byste také otevřít všechny pokladny jako princ Piko?

Připomínáme: Odmocňování má přednost před ostatními operacemi, násobení a dělení má přednost před sčítáním a odčítáním.

Princezna naučila Pika jednu hru, kterou znala od Petříčka: vezmeš si tabulku čokolády a rozlomíš ji na dvě části (rovným zlomením), tu větší (podle počtu čtverečků) podáš protihráči (jsou-li stejné, můžeš si vybrat). Protihráč rozdělí stejným způsobem část, kterou dostal, a větší díl ti vrátí atd. Prohrává ten, kdo již nemůže půlit (tj. dostal jen jeden čtvereček). (Jestli se vám to nepodaří, zkuste jednodušší modifikaci: Čokoláda má tvar pásu 1 \times n. Ostatní pravidla jsou stejná.)

Úloha č. 8:

Jak má princ Piko hrát, aby vždy vyhrála princezna?