Zadání 4. série 7. ročníku

Termín odelslání: 20. února 1992

Adresa:7

Úloha č. 14:

Kolik stran může mít konvexní n-úhelník, jehož všechny úhlopříčky jsou shodné? Odpověď doplňte podrobným zápisem, obrázky a podobně.

Úloha č. 15:

Existuje trojúhelník, jehož všechny výšky jsou menší než $1 cm a jehož obsah je větší než 1 m{2}$?

Úloha č. 16:

Ředitel firmy vyrábějící osvěžující nápoj PIKO-COLA před svou smrtí rozeslal listy svým deseti nejspolehlivějším spolupracovníkům a každému v dopise prozradil jednu z deseti příměsí (každou jinou), ze kterých se PIKO-COLA vyrábí. Po smrti ředitele si těchto deset lidí chtělo vyměnit získané informace. Každý z nich má telefon.
(a) Kolik nejméně hovorů je potřebných na to, aby se každý z 10 zaměstnanců dozvěděl všech 10 příměsí?
(b) Řešte tutéž úlohu pro případ, že PIKO-COLA sestává z 100 příměsí, které ředitel sdělil 100 nejspolehlivějším pracovníkům (každému jednu). Dokažte, že by stačilo pouze 196 telefonních hovorů.

Úloha č. 17:

Indiana Jones stanul na cestě za pokladem před 111 lampami, z nichž každá byla rozsvícená nebo zhasnutá. Jestliže si vybere 13 lamp a mávne kouzelným proutkem, pak je přepne - to znamená, že ty z nich, které svítily, zhasne, a ty, které byly zhasnuté, pro změnu rozsvítí. Dál může jít až tehdy, když budou všechny lampy zhasnuty.
(a) Podaří se mu (bez ohledu na to, kolik bylo na začátku rozsvíceno lamp) pomocí kouzelného proutku všechny lampy pozhasínat?
(b) Na jaký nejmenší počet mávnutí kouzelným proutkem může Indiana Jones pozhasínat všechny lampy, jestliže na začátku budou všechny lampy rozsvíceny?

A ještě prémiový příklad na rozloučenou se VII. ročníkem PIKOMATu:

Úloha č. 18:

Dá se napsat letopočet 1992 jako součet po sobě jdoucích přirozených čísel? Kolika způsoby? Vymyslete podobnou úlohu (nebo ještě lepší) na rok 1992. (Za 18. úlohu můžete dostat až 5 bodů navíc)