Úloha č. 9

Dvojciferné číslo vyjádříme jako 10x+y. Čteme-li je obráceně, můžeme je vyjádřit jako 10y+x. Podle zadání platí:
(10x+y) \times 4,5 = 10y+x
Odtud řešením dostaneme:
8x=y
Protože x, y jsou číslice 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, vyhovuje rovnici právě jedno řešení, totiž, že x=1 a y=8.
Myšlené číslo je tedy 18. Přečtené obráceně 81. Platí: $18 \times 4,5 = 81$.

Úloha č. 10

Je celkem 6 částí.
1. je lichoběžník s úhly 72^{o} a 108^{o}, je rovnoramenný, jako ostatně i zbývajících 5 částí, kterými jsou trojúhelníky. Dva shodné, s úhly 36^{o}, 72^{o}, 72^{o}, další dva shodné 108^{o}, 36^{o}, 36^{o} a poslední s úhly 36^{o}, 72^{o}, 72^{o}. Dále je potřeba dokázat velikosti úhlů v trojúhelnících a lichoběžníku.

Úloha č. 11

Při dělení číslem 4 můžeme dostat 4 různé zbytky: 0,1,2,3. Máme-li 5 po sobě jdoucích přirozených čísel 5. a 1. mají stejný zbytek po dělení čtyřmi. Vezmeme-li 5 libovolných přirozených čísel, mohou mezi nimi být maximálně 4, která se navzájem liší svým zbytkem po dělení čtyřmi. Páté číslo nutně musí mít stejný zbytek jako některé ze zbývajících čísel. Tato čísla se stejným zbytkem po dělení čtyřmi odečteme, jejich rozdíl je vždy dělitelný čtyřmi.

Úloha č. 12

Abychom poznali umístění všech čísel, musíme se zeptat nejméně pětkrát. Například:
1. Která čísla jsou na polích: 1,2,...,13
2. Která čísla jsou na polích 1,2,...,6,7,14,...,19
3. Která čísla jsou na polích 1,...,4,8,9,10,14,15,16,20,21,22
4. Která čísla jsou na polích 1,2,5,6,9,10,13,14,15,18,19,22,23
5. Která čísla jsou na polích 1,3,5,9,11,14,18,20,24
Z těchto otázek můžeme již odvodit umístění všech čísel.

Úloha č. 13

Na ryby šel děda, otec a syn, tedy tři. Proto se potom Pavlův otec jmenuje Petr. Je potřeba probrat všechny možnosti (jsou čtyři), vyloučit ty, které nevyhovují.