Zadání 3. série 5. ročníku

Termín odelslání: 25. ledna 1990

Adresa:5

Asi vám bylo divné, kde se vzala 8. úloha. Jiří byl zmatený stejně jako vy, když se mu na obrazovce palubního počítače objevil stejný úkol. Od té chvíle se počítač zablokoval a chtěl-li Jiří odvrátit katastrofu, musil počítač opět uvést do chodu. Kontrola chodu jednotlivých součástí počítače Jiřího ubezpečila, že jedinou šancí, jak počítač odblokovat, je odpovědět na zadaný úkol. Po vypsání správné odpovědi se na obrazovce rozzářila další matematická úloha:

Úloha č. 9:

(a) Dokaž, že součin dvou dvouciferných přirozených čísel nemůže být čtyřciferné číslo se samými stejnými ciframi (cifra=číslice). (b) Najdi všechny dvojice přirozených čísel, jejichž součin je čtyřciferné číslo se samými stejnými číslicemi.

Zatímco Jiří se neohroženě pustil do řešení této úlohy a brzy ji vyřešil, s raketou se děly neuvěřitelné věci. Motory zhasly a loď začala být vlečena neznámou silou k drobné planetě. Jiří však byl tak zabrán do práce, že vůbec nevnímal okolí. S napětím vyťukal správné řešení druhé úlohy a čekal, co bude. Počítač povzbudivě zapípal na znamení souhlasu a už před Jiřím byla další úloha:

Úloha č. 10:

Máš k dispozici zaseklé kružítko (nejde měnit poloměr) a rovné pravítko bez měřítka a pravých úhlů. Pomocí těchto dvou pomůcek sestroj čtverec tak, aby počet jednotlivých úkonů byl co nejmenší. Své řešení dobře popiš, aby tomu každý rozuměl. Tužka je samozřejmě k dispozici.

Právě když Jiří dopisoval své řešení, raketa byla navedena na přistání. Vládkyně Skleněné planety princezna Skleněnka I. již čekala na přistávací dráze, aby Jiříka přivítala. To už počítač sdělil Jiřímu, že sice jeho řešení poslední úlohy není nejlepší, ale že přesto úspěšně prošel konkursem, který princezna Skleněnka vypsala pro zájemce o její ruku. Když se Jiří setkal se Skleněnkou okamžitě se do ní zamiloval. Také Skleněnka byla šťastna. Její radost však kalila obava, zda Jiří dokáže vyřešit poslední úlohu, kterou si vykoledoval neúplným řešením poslední úlohy.

Úloha č. 11:

Před Jiřím v komnatě ležely tři skříňky: zlatá s nápisem snubní prsteny jsou zde, stříbrná s nápisem snubní prsteny jsou zde a bronzová skříňka s nápisem aspoň dvě skříňky zde vyrobil lhář. Skříňky princezně dělali dva největší mistři planety, ale podivíni. Jeden vždy mluvil pravdu, kdežto druhý soustavně lhal. Pomozte Jiřímu najít prsteny pouhým jedním otevřením jedné ze skříněk. Zároveň vysvětlete podrobně, proč budou prsteny právě tam a ne jinde.

Jiřímu s úkolem pomohla jakási moucha, kterou den předtím zachránil už z principu před jedním pavoukem. A tak si princezna oddechla a byla svatba. Na svatbu pozvala Skleněnka celkem 15 princezen a jistý počet urozených princů. Každá princezna se z dřívějška znala navzájem alespoň se 3 nejvýše však se 6 z přítomných princů. Každý princ se navzájem zná z dřívějška alespoň se 4, nejvýše však s 9 přítomnými princeznami. Zábavě to však nevadilo.

Úloha č. 12:

Kolik nejméně a kolik nejvíce mohlo být na svatbě pozvaných princů?

Dovolujeme si vám (v případě nedostatku sněhu a nástupu nudy) pro sváteční chvíle věnovat pár mimosoutěžních úloh:

A) Dva chlapci se narodili týmž rodičům, v týž den, toho samého roku, a přesto nejsou dvojčata. Je něco takového vůbec možné?

B) Tajtrdlík odčítal od zlomku tisíc dvě stě padesátin zlomek tisíc dvě stě padesátin a dostal výsledek 20. Je to možné? Pokud ne, v čem je chyba?

Pozor! Vyhlašujeme pro toto zimní kolo podsoutěž o cenu „O nejlépe vyzdobenou obálku soutěže Pikomat.“ Již dříve jste se vy, matematici, projevili jako esteticky nápadití a některé obálky s vašimi řešeními nás překvapily pěknou výzdobou a vtipem. A tak, pokud nebude zima přát počasím a nebude čas na zimní sporty a radovánky, můžete zkusit štěstí v naší malé soutěži. Na vtipné a nápadité dopisy se těší pořadatelé a možná i poštovní doručovatelky potěší vaše pěkné nápady.