Úloha č. 5

Můžeme sestavit „hlavovou“ rovnici: 3 \cdot x + y = 50, kde x je počet draků (každý drak má tři hlavy) a y je počet (hlav) pavouků (každý pavouk má jednu hlavu). Dále můžeme sestavit „nožní“ rovnici: $n \cdot x + 8 \cdot y = 166, kde n$ je počet nohou trojhlavého draka. Z první rovnice plyne, že x je menší než 17 (y nemůže být záporné). Z první rovnice vyjádříme y: y=50-3x a dosadíme do druhé rovnice: $n \cdot x + 8 \cdot (50-3x) = 166. Po úpravách dostaneme: n = 24 - 234\overx$. Z této rovnice plyne, že x musí být větší než 9 (jinak by n vyšlo záporné). Protože n je přirozené číslo, musí být 234 dělitelné x beze zbytku. Ze všech dělitelů čísla 234 vyhovuje našim podmínkám pouze číslo 13. V Černé Hoře bylo tedy zabito 13 draků. Po dosazení za x (do poslední rovnice) zjistíme, že každý drak měl 6 nohou (n=6).

Úloha č. 6

Podívejme se, jak se mění počty Trifidů při setkání dvou různobarevných jedinců. Na začátku jsou rozdíly mezi barvami: 17-15=2, 15-13=2, 17-13=4, tedy 2,2,4. Nechť jsou v daném okamžiku počty „barev“ Trifidů a,b,c. Při setkání dvou Trifidů z prvních dvou skupin se počty změní takto: a-1, b-1, c+2. Rozdíly v počtech Trifidů ve skupinách se změní takto: mezi 1. a 2. zůstane nezměněný (a-1)-(b-1)=a-b. Rozdíl mezi 1. a 3. (respektive mezi 2. a 3.) skupinou se změní o tři: (a-1)-(c+2)=a-c-3 respektive (b-1)-(c+2)=b-c-3. Z toho ovšem plyne, že se rozdíl mezi počty dvou skupin při setkání buď nemění nebo se mění o tři. Z počátečního rozdílu 2,2,4 tedy nemůžeme nikdy dospět ke konečnému rozdílu 45,45,0. To by šlo jedině tehdy, když by se počáteční rozdíly ve skupinách daly beze zbytku dělit 3 (při celkovém počtu Trifidů 45).

Úloha č. 7

V úloze jste zapomínali na podmínku, že každý člen vlády má právě tři nejbližší sousedy (nemusí mít společný chodník, to byla až další podmínka -- mezi nejbližšími sousedy se vybuduje chodník). Minimální počet členů vlády byl tedy 16.

Úloha č. 8

Do krabice je možno umístit 106 koulí. Uspořádáme je do 11 řad takto:
a) v každé liché řadě bude 10 koulí (lichých řad je 6),
b) ve čtyřech sudých řadách bude 9 koulí (jejich středy S budou nad body dotyku sousedních koulí předcházející řady),
c) v jedné sudé řadě bude 10 koulí. Tedy $6 \cdot 10 + 4 \cdot 9 + 10 = 106$. Ověřte si pomocí Pythagorovy věty, že se do krabice dá takto umístit celkem 11 řad.