Zadání 3. série 3. ročníku

Termín odelslání: 15. ledna 1988

Adresa:3

Král kontroloval pokladnu, rytíři řešili konkursní úlohy a princezna Truculka se zase začala nudit. Někde našla kus papíru a teď jej začala z nudy trhat. Roztrhla jej na pět částí. Potom některé z těchto částí opět roztrhala - každý kousek na pět částí, a tak pokračovala dále.

Úloha č. 9:

Mohla při takovémto postupu nastat situace, že by vzniklo
(a) 1987 kousků papíru
(b) 1989 kousků papíru?

Z nudy Truculku vytrhl jeden opožděný nápadník. Tvrdil o sobě, že je mocný kouzelník. Jako ukázku své magie předváděl bleskové umocňování (násobení čísla sebou samým) čísel končících pětkou. Jeho recept zněl: „Když chci číslo končící pětkou umocnit na druhou, stačí poslední pětku škrtnout, číslo, které zůstalo vynásobit číslem o jedna větším a za výsledek připsat 25.“ Např.: 75^{2}=5625, 7\cdot8=56, 125^{2}=15625, 12\cdot13=156. Truculka byla však matematicky vzdělaná a rychle pochopila podstatu tohoto „kouzla“.

Úloha č. 10:

Dejte matematické vysvětlení, proč kouzlo funguje!

Kouzelník se však nevzdal. Zkusil to jinak. Vzal si do rukou akvárium tvaru krychle a prohlásil, že bez toho, že by cokoli měřil, dokáže akvárium naplnit vodou přesně do jedné šestiny. Na důkaz, že nelže, vzal akvárium k vodorovnému kohoutku a doopravdy svůj slib splnil.

Úloha č. 11:

Popište, jak to udělal. (Nebyl to podvod, jen trocha matematiky.)

Teď byla na řadě Truculka: „Když jsi tak moudrý, jistě vyřešíš moji úlohu“. Na ta slova dala na stůl pět kartiček. Na první byla z jedné strany nula a z druhé devítka, na druhé kartě byla z jedné strany 1 a z druhé 8, na třetí kartě zepředu 2 a zezadu 7, na čtvrté kartě jsou z jedné strany 3 a z druhé 6, na páté kartě zepředu 4 a zezadu 5. „Polož karty na stůl vedle sebe tak, aby vzniklo pěticiferné číslo dělitelné číslem 1584“ Kouzelník se dlouho trápil s řešením. Nakonec ho princezna vyhodila se slovy: „Kdybys uměl matematiku, tak bys uspěl.“

Úloha č. 12:

Jak měl kouzelník položit kartičky na stůl?