Úloha č. 13

Nejprve dokážeme, že za dveřmi muselo být aspoň 9 nápadníků. Rozdělíme nápadníky do čtyř množin: T (tmavovlasí), V (vysocí), K (kučeraví), M (modroocí). Má platit (T \cap V)=6, (T \cap K)=5, (T \cap M)=4, (V \cap K)=3, (K \cap M)=1, kde (A) je počet prvků množiny A. Z toho plyne, že T i V musí mít aspoň 6 prvků. A když $(T \cap K)-(V \cap K)=5-3=2, musí T obsahovat aspoň 2$ prvky, které nenáleží V, a tedy T musí mít aspoň 8 prvků. Kdyby nápadníků bylo jen 8, platilo by (T)=8 a T by obsahovalo všechny nápadníky. Pak by platilo: (T \cap K)=K, (T \cap M)=M a tedy $(K)=(T \cap K)=5, (M)=(T \cap M)=4. Víme, že pro libovolné množiny platí: (K \cup M) = (K) + (M)-(K \cap M). Tedy (K \cup M)=5+4-1=8, (K \cup M)$ by též obsahovala všechny nápadníky, platilo by (K \cup M)=T. Pak by ale $(T \cap V) = ((K \cup M) \cap V) = ((K \cap V) \cup (M \cap V))$ a platilo by $(T \cap V) = ((K \cap V) \cup (M \cap V)) \leq (K \cap V) + (M \cap V) = 3+2 = 5, což je spor se požadavkem (T \cap V)=6$. Tento spor ukazuje, že náš předpoklad (8 nápadníků) je nesplnitelný. Tedy nápadníků musí být aspoň 9. Že to stačí, je vidět z následující tabulky. Nápadníci jsou označeni 1,2,...,9 a u každé vlastnosti jsou čísla nápadníků, kteří ji mají.

T 1,2,3,4,5,6,7,8,9
V 1,2,3,4,5,6
K 1,2,3,7,8
M 4,6,8,9

Úloha č. 14

V případě, že se nedaří najít žádnou cestu k zajištění výhry, je vhodné sledovat hru při zmenšení velikosti hracího stolu. Mezní případ, kdy nelze položit více než jednu kartičku, vede k poznání taktiky: obsadit střed stolu a pak klást další kartičky souměrně. Výhru si tedy může vždy zajistit první hráč.

Úloha č. 15

Do polohy X se koza může dostat jen napnutím provazu „podél plotu“. Platí tedy: |PQ|+|QX|=3\over2 a.

Úloha č. 16

Stačilo si všimnout, že po prvním vyloučení zůstali v řadě nápadníci, kteří stáli na sudých místech, po druhém vyloučení zůstali v řadě jen nápadníci stojící na místech dělitelných čtyřmi, po třetím vyloučení zůstali ti, jejichž pořadí bylo dělitelné osmi atd. Obecně po n-tém odchodu zůstali nápadníci na místech dělitelných číslem 2^{n}. Zároveň si všimněte, jak klesal počet rytířů po jednotlivých odchodech: $1000, 500, 250, 125, 62, 31, 15, 7, 3, 1$. Tedy po devátém odchodu zůstal jediný a ten musel stát na místě dělitelném 2^{9}=512, tj. na 512. místě.