Úloha č. 9

Každým roztrhnutím papírku vzroste počet papírků o čtyři. Na počátku je jeden papír, po k roztrhnutí je tedy 1+4k papírků. Číslo 1987 není ve tvaru 1+4k (1987-1 není dělitelné čtyřmi), tento počet papírků tedy nemůže vzniknout. Číslo 1989 je tvaru 1+4k (1989-1=4\cdot497), tento počet papírků mohl vzniknout.

Úloha č. 10

Číslo N končící pětkou se dá napsat ve tvaru: 10n+5, n je číslo, které udává počet desítek čísla N. Umocněním dostaneme: N^{2}=(10n+5)^{2}=100n^{2}+2\cdot10n\cdot5+5^{2}=100n^{2}+100n+25=100n(n+1)+25. Vynásobit číslo n\cdot(n+1) stem a potom připočítat 25 je totéž jako připsat za číslo n(n+1) dvojčíslí 25. A to je to kouzlo.

Úloha č. 11

Označme rohy akvária ABCDEFGH. Akvárium stačilo vhodně natočit a pak jen počkat, až hladina dosáhne roviny EBD. Ta je kolmá na AG, tedy AG je svislá. Objem jehlanu ABDE je právě jedna šestina objemu akvária. Jestliže |AB|=1 j, pak $V_{ABDE} = P \cdot |AE| \over 3 = |AB| \cdot |AD| \cdot |AE| \over 6 = 1\over6 j{3}$
P ... obsah podstavy.

Úloha č. 12

Hledané číslo má být dělitelné 1584. Protože 1584=9\cdot11\cdot16, je dělitelné také 9,11,16. Kritéria dělitelnosti:
-- Hledané číslo musí mít ciferný součet dělitelný 9.
-- Jeho poslední čtyřčíslí musí být dělitelné 16.
-- Nechť cifry hledaného čísla jsou abcde, pak číslo a+c+e-(b+d) musí být dělitelné 11.
Označme a+c+e=x, b+d=y. Zřejmě x \leq 9+8+7, y \geq 0+1, tedy x-y \leq 24-1=23. Tedy x-y je buď 0,11 nebo 22. Zároveň a+b+c+d+e=x+y\leq5+6+7+8+9=35, x+y je dělitelné 9, tedy buď je (x+y) 9,18 nebo 27. Platí x+y>x-y. Vyzkoušíme všechny případy:

1 x+y = 27 x-y = 22 $$ Nemá řešení v N
2 x+y = 27 $$ x-y = 11 $$ x=19, y=8
3 x+y = 27 $$ x-y = 0 $$ Nemá řešení v N
4 x+y = 18 $$ x-y = 11 $$ Nemá řešení v N
5 x+y = 18 $$ x-y = 0 $$ x=y=9
6 x+y = 9 $$ x-y = 0 $$ Nemá řešení v N

$$

Případ 5. nevyhovuje, neboť y=b+d=9, ale cifry dající součet 9 jsou vždy na téže kartičce. Vyhovuje pouze 2. případ. Kdy nastane y=b+d=8? Jsou tyto možnosti: a) 0,8, b) 1,7, c) 2,6, d) 3,5. Možnosti a), c) nevyhovují (ze zbylých kartiček nejde udělat součet 19). V případě b) zbylé cifry jsou 9,6,4, v případě d) pak 9,8,2. Z 8 čísel (poslední dvojčíslí dělitelné 4): $47916, 97416, 41976, 93852, 83952, 95832, 85932$ vyhovuje podtržené.