Úloha č. 5

Je to možné. Rytíři si mohou přesedat například takto:
1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-1-
1-3-5-7-9-11-2-4-6-8-10-1-
1-4-7-10-2-5-8-11-3-6-9-1-
1-5-9-2-6-10-3-7-11-4-8-1-
1-6-11-5-10-4-9-3-8-2-7-1-
Je potřeba zorganizovat čtyři přesedání, společně s původním rozsazením celkem 5 zasedacích pořádků. Méně jich být nemůže, neboť každý potřebuje mluvit s 10 rytíři - při jednom rozesazení hovoří najednou se dvěma sousedy.

Úloha č. 6

Hledaná množina bodů se skládá ze dvou čtverců, které jsou na sebe kolmé (obr.).

Strana každého čtverce má délku rovnou polovině hrany krychle, tj. 5 cm. Obsah hledané množiny je tedy roven $2 \cdot 5 \cdot 5 = 50 cm{2}$. Množinu bylo možné najít tak, že se nejprve zkoumaly množiny středů S úseček PQ takových, že se jeden z bodů P,Q pohybuje po dané hraně krychle a druhý se umístí do vrcholu krychle a je nepohyblivý.

Středy S vytvoří úsečku, rovnoběžnou s hranou krychle, po které probíhá koncový bod úsečky, a mající poloviční délku (vlastnosti střední příčky v trojúhelníku). Takto postupně dostaneme obrys hledané množiny: ostatní (vnitřní) body dostaneme tehdy, když P,Q jsou vnitřními body hran krychle.

Úloha č. 7

Nejprve ukážeme, že stačí 3340 dukátů. Za ně totiž koupíme 334 čokolád. S nimi získáme 334 kupónů. Jeden dáme stranou a zbylých 333 vyměníme za 111 čokolád. S těmi ovšem získáme 111 kupónů, za které můžeme dostat ještě 37 čokolád. S těmi získáme ovšem 37 kupónů, které směníme za 12 čokolád, přičemž jeden kupón zbyde stranou. S dvanácti čokoládami dostaneme i 12 kupónů, ty vyměníme za 4 čokolády se čtyřmi kupóny. K těmto kupónům přidáme zbylé dva kupóny z dřívějška a za 6 kupónů dostaneme ještě 2 čokolády a dva kupóny. Máme tedy dohromady 334+111+37+12+4+2=500 čokolád.
Nyní dokážeme, že za méně peněz se určitě 500 čokolád nedá koupit. Jaká je skutečná hodnota čokolády v dukátech? Platí rovnost: 3k=1č+1k po úpravě: 1č=2k. Odtud: 10d=1č+1k=3k čili: k=10\over3 d
d ... dukát, č ... čokoláda, k ... kupón
Tedy kupón má hodnotu 10\over3 dukátu a čokoláda dvakrát 10\over3 dukátu, čili 6 2\over3 dukátu. 500 čokolád má tedy hodnotu 500 \cdot 6 2\over3=3333 1\over3 dukátu. Je jasné, že musíme zaplatit aspoň tolik, kolik činí hodnota koupené čokolády. Protože platíme vždy po 10 dukátech, musí být suma, kterou zaplatíme dělitelná deseti a větší než 3333 1\over3. Nejmenší taková suma je 3340 dukátů.

Úloha č. 8

Zkřivená ručička vah způsobuje, že váha stále ukazuje o několik kg více nebo méně. Označme tuto odchylku x. Potom musí platit: (67-x)+(59-x)=(131-x). Dali jsme do rovnosti skutečné hmotnosti pytlů. Řešením rovnice dostaneme x=-5. Váha tedy ukazuje o 5 kg méně. První pytel tedy váží 72 kg, druhý pytel 64 kg. Dohromady váží tedy 136 kg. Vždy tedy o 5 kg více než ukázala váha.